Question

4．如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，長方形OACB的頂點A、B分別在x軸與y軸上，已知A點坐標為（a，0），B點坐標為（0，b），且a，b滿足$\sqrt{a+b-16}$+|2a-b-2|=0．D為y軸上一點，其坐標為（0，2），點P從點A出發(fā)以每秒1個單位的速度沿線段AC-CB的方向運動，當點P與點B重合時停止運動，運動時間為t秒．
（1）當點P經(jīng)過點C時，求直線DP的函數(shù)解析式；
（2）①求△OPD的面積S關(guān)于t的函數(shù)解析式；
②如圖②，把長方形沿著OP折疊，點B的對應(yīng)點B′恰好落在AC邊上，求點P的坐標．
（3）點P在運動過程中是否存在使△BDP為等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求得A、B點的坐標，從而求得C的坐標，設(shè)直線DP解析式為y=kx+b，將D與C坐標代入求出k與b的值，即可確定出解析式；
（2）①當P在AC段時，三角形ODP底OD與高為固定值，求出此時面積；當P在BC段時，底邊OD為固定值，表示出高，即可列出S與t的關(guān)系式；
②當點B的對應(yīng)點B′恰好落在AC邊上時，關(guān)鍵勾股定理即可求出此時P坐標；
（3）存在，分別以BD，DP，BP為底邊三種情況考慮，利用勾股定理及圖形與坐標性質(zhì)求出P坐標即可．

解答 解：（1）∵a，b滿足$\sqrt{a+b-16}$+|2a-b-2|=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b-16=0}\\{2a-b-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=6}\\{b=10}\end{array}\right.$，
∴點坐標為（6，0），B點坐標為（0，10），
∴C（6，10），
設(shè)此時直線DP解析式為y=kx+b，如圖1，
將D（0，2），C（6，10）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{6k+b=10}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
則此時直線DP解析式為y=$\frac{4}{3}$x+2；

（2）①當點P在線段AC上時，OD=2，高為6，S=6；
當點P在線段BC上時，OD=2，高為6+10-t=16-t，S=$\frac{1}{2}$×2×（16-t）=-t+16；
②設(shè)P（m，10），則PB=PB′=m，如圖2，
∵OB′=OB=10，OA=6，
∴AB′=$\sqrt{O{B′}^{2}-O{A}^{2}}$=8，
∴B′C=10-8=2，
∵PC=6-m，
∴m²=2²+（6-m）²，解得m=$\frac{10}{3}$
則此時點P的坐標是（$\frac{10}{3}$，10）；

（3）存在，理由為：
若△BDP為等腰三角形，分三種情況考慮：如圖3，
①當BD=BP₁=OB-OD=10-2=8，
在Rt△BCP₁中，BP₁=8，BC=6，
根據(jù)勾股定理得：CP₁=$\sqrt{{8}^{2}-{6}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴AP₁=10-2$\sqrt{7}$，即P₁（6，10-2$\sqrt{7}$）；
②當BP₂=DP₂時，此時P₂（6，6）；
③當DB=DP₃=8時，
在Rt△DEP₃中，DE=6，
根據(jù)勾股定理得：P₃E=$\sqrt{{8}^{2}-{6}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴AP₃=AE+EP₃=2$\sqrt{7}$+2，即P₃（6，2$\sqrt{7}$+2），
綜上，滿足題意的P坐標為（6，6）或（6，2$\sqrt{7}$+2）或（6，10-2$\sqrt{7}$）．

點評 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，坐標與圖形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，利用了分類討論的思想，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題第一問的關(guān)鍵．