Question

19．以滿足|x|+|y|=1的所有的對數(shù)（x，y）為坐標原點，構成了一個正方形MNPQ（如圖所示），這個正方形被直線l：y=ax-a-1分成了兩部分．
（1）求證：無論a為何值，直線l恒過點A，求A點的坐標，并用a表示l與MQ的交點C的坐標；
（2）當a在什么范圍時，l分別與MN，PN，PQ有交點（只要求結論）；
（3）當l與PN交于D點時，設四邊形CMND的面積為S，求S關于a的函數(shù)關系式．

Answer 1

分析 （1）把函數(shù)解析式變形成a（x-1）-1的形式，即可得到不論a取何值，當x=1時，y=-1，則一定過點（1，-1），求得直線MQ的解析式，然后解MQ的解析式和l的解析式組成的方程組即可求得C的坐標；
（2）求出直線l經過M、N、P、Q時對應的a的值，即可判斷；
（3）首先求得PN的解析式，與l的解析式組成方程組求得D的坐標，則DN和CM的長即可求得，然后利用直角梯形的面積公式即可求得函數(shù)解析式．

解答 解：（1）y=ax-a-1=a（x-1）-1，
不論a取何值，當x=1時，y=-1，則一定過點（1，-1）．
則A的坐標是（1，-1）．
設MQ的解析式是y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{k=1}\end{array}\right.$，
則MQ的解析式是y=x-1．
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=ax-a-1}\\{y=x-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{a}{a-1}}\\{y=\frac{1}{a-1}}\end{array}\right.$，
則C的坐標是（$\frac{a}{a-1}$，$\frac{1}{a-1}$）；
（2）當y=ax-a-1經過點M（1，0）時，a-a-1=0，不成立，
當y=ax-a-1經過點N（0，1）時，-a-1=1，解得：a=-2，
當y=ax-a-1經過點（-1，0）時，-a-a-1=0，解得：a=-$\frac{1}{2}$，
當y=ax-a-1經過點（0，-1）時，a-1=-1，解得a=0．
則直線于MN有交點時，-2＜a＜0，
當直線與PN有交點時，-2≤a＜-$\frac{1}{2}$；
當直線與PQ有交點時-$\frac{1}{2}$≤a＜0；
（3）設直線PN的解析式是y=mx+n，
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{-m+n=0}\\{n=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=1}\end{array}\right.$，
則直線PN的解析式是y=x+1．
則$\left\{\begin{array}{l}{y=ax-a-1}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{a+2}{a-1}}\\{y=\frac{2a+1}{a-1}}\end{array}\right.$，
則D的坐標是（$\frac{a+2}{a-1}$，$\frac{2a+1}{a-1}$）．
則DN=$\sqrt{（\frac{a+2}{a-1}）^{2}+（1-\frac{2a+1}{a-1}）^{2}}$=$|\frac{a+2}{a-1}|$$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}（a+2）}{1-a}$，
CN=$\sqrt{（1-\frac{a}{a-1}）^{2}+（\frac{1}{a-1}）^{2}}$=$\sqrt{2}$•|$\frac{1}{1-a}$|=$\frac{\sqrt{2}}{1-a}$，
則S=$\frac{1}{2}$（DN+CN）•MN=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×[$\frac{\sqrt{2}（a+2）}{1-a}$+$\frac{\sqrt{2}}{1-a}$]=$\frac{a+2+1}{1-a}$=$\frac{a+3}{1-a}$．

點評 本題是待定系數(shù)法求函數(shù)解析式與梯形的面積的綜合應用，在本題中解關于a的方程組求得C和D的坐標是關鍵．