Question

如圖，在菱形ABCD中，E為邊BC的中點(diǎn)，DE與對(duì)角線(xiàn)AC交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥CD于點(diǎn)F，∠1=∠2．

求證：（1）DE⊥BC；
（2）AM=DE+MF．

Answer 1

（1）證明∠CFM=90°，△CFM≌△CEM，推出∠CEM =90°，即DE⊥BC.
（2）延長(zhǎng)AB交DE于點(diǎn)N，通過(guò)中位線(xiàn)性質(zhì)和邊的等量代換，證明AM= MN，MN =NE+ME，ME=MF，所以AM=DE+MF.

解析試題分析：（1）證明垂直，可以通過(guò)證明角等于90°，或者找出等腰三角形利用三線(xiàn)合一，該題可以考慮通過(guò)證明角為90°；
∵四邊形ABCD是菱形，∴∠BCA=∠ACD，AB∥CD．
∴∠1=∠ACD．
∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2．
∴MC=MD．
∵M(jìn)F⊥CD，∴∠CFM=90°，CF=CD．
∵E為BC的中點(diǎn)，∴CE=BE=BC．
∴CF= CE．
∵CM=CM，
∴△CFM≌△CEM．
∴∠CEM=∠CFM=90°，

即DE⊥BC．
（2）證明不相干的邊的數(shù)量關(guān)系，可以應(yīng)用邊的等量代換；
延長(zhǎng)AB交DE于點(diǎn)N，
∵AB∥CD，CE=BE，
∴NE=DE，∠N=∠2．
∵∠1=∠2，∴∠1=∠N．
∴AM=MN．
∵NM=NE+ME，∴AM=DE+ME．
∵M(jìn)E=MF，∴AM=DE+MF．
考點(diǎn)：菱形、等腰三角形的性質(zhì)
點(diǎn)評(píng)：該題是常考題，主要考查學(xué)生對(duì)菱形和等腰三角形性質(zhì)應(yīng)用的熟練程度。