Question

18．關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x²-2mx+m+1=0有兩個實數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）當(dāng)m為何整數(shù)時，此方程的兩個根都為正整數(shù)．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)一元二次方程的定義以及根的判別式意義求出m的取值范圍；
（2）首先求出一元二次方程的兩根，一根為1，一根為$1+\frac{2}{m-1}$，只需要求出$\frac{2}{m-1}$是正整數(shù)時m的值即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意得m≠1，
△=（-2m）²-4（m-1）（m+1）=4，
即m的取值范圍是m≠1；

（2）∴x₁=$\frac{2m-2}{{2（{m-1}）}}=1$，
x₂=$\frac{2m+2}{{2（{m-1}）}}$=$\frac{m+1}{m-1}$
x₂=$\frac{m+1}{m-1}$=$1+\frac{2}{m-1}$，
∵方程的兩個根都是正整數(shù)，
∴$\frac{2}{m-1}$是正整數(shù)，
∴m-1=1或2
∴m=2或3．

點評 本題主要考查了根的判別式的知識，解答本題的關(guān)鍵是掌握根的判別式與根的個數(shù)的關(guān)系，此題難度不大．