Question

如圖，CD∥AB，∠ABC，∠BCD的角平分線交于E點(diǎn)，且E在AD上，CE交BA的延長線于F點(diǎn)．
（1）BE與CF互相垂直嗎？若垂直，請說明理由；
（2）若CD=3，AB=4，求BC的長．

Answer 1

解：（1）垂直．
∵CD∥AB，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠ABC，∠BCD的角平分線交于E點(diǎn)，
∴∠ABE=∠EBC，∠DCE=∠ECB，
∴∠EBC+∠ECB=∠ABC+∠BCD=（∠ABC+∠BCD）=90°，
∴∠CEB=90°，
∴BE與CF互相垂直．

（2）∵∠CEB=90°，
∴∠FEB=90°，
在△FBE和△CBE中，
∵，
∴△FBE≌△CBE（ASA），
∴BF=BC，EF=EC，
∵CD∥AB，
∴∠DCE=∠AFE，
∵∠FEA=∠CED，
∴△DCE≌△AFE，
∴DC=AF，
∵CD=3，AB=4，BF=AF+AB，
∴BF=BC=7．
分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得到∠ABC+∠BCD=180°，由角平分線的性質(zhì)不難推出∠EBC+∠ECB=90°，即BE與CF垂直．
（2）利用ASA可判定△FBE≌△CBE，由全等三角形的性質(zhì)可得到BF=BC，EF=EC，同理利用ASA判定△DCE≌△AFE，從而可得到DC=AF，已知AB，CD的長，則不難求得BC的長．
點(diǎn)評：此題主要考查學(xué)生對平行線的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)的綜合運(yùn)用．