Question

如圖，在平面直角坐標系中，點O坐標原點，直線l分別交x軸、y軸于A，B兩點，OA＜OB，且OA、OB的長分別是一元二次方程x²-7x+12=0的兩根．
（1）求直線AB的函數表達式；
（2）點P是y軸上的點，點Q第一象限內的點．若以A、B、P、Q為頂點的四邊形是菱形，請

直

•

接

•

寫出Q的坐標．

Answer 1

考點：一次函數綜合題

專題：

分析：（1）首先解方程，求得OA、OB的長度，即求得A、B的坐標，利用待定系數法即可求解；
（2）分P在B點的上邊和在B的下邊兩種情況進行討論，求得Q的坐標．

解答：解：（1）∵x²-7x+12=0，
∴（x-3）（x-4）=0，
∴x=3，x=4．
∴點A的坐標為（3，0），點B的坐標為（0，4）． 
∵設直線AB的函數表達式為y=kx+b（k≠0）
∴

0=3k+b 4=b

∴

k=- 4 3 b=4

∴直線AB的函數表達式為y=-

4

3

x+4．

（2）當P在B的下邊時，AB是菱形的對角線，AB的中點D坐標是（

3

2

，2），
設過D點，與直線AB垂直的直線的解析式是y=

3

4

x+m，則

9

8

+m=2，
解得：m=

7

8

，
則P的坐標是（0，

7

8

）．
設Q的坐標是（x，y），則

x

2

=

3

2

，

7 8 +y

2

=2，
解得：x=3，y=

25

8

，
則Q點的坐標是：（3，

25

8

）．
當P在B點的上方時，AB=

32+42

=5，
AQ=5，則Q點的坐標是（3，5）．
總之，Q點的坐標是（3，5）或（3，

25

8

）．

點評：本題考查了待定系數法求函數的解析式，以及菱形的性質，正確對P的位置進行分類討論是關鍵．