Question

已知關于x的方程mx²-（3m+2）x+2m+2=0
（1）求證：無論m取任何實數時，方程恒有實數根；
（2）若關于x的方程mx²-（3m+2）x+2m+2=0的兩個不等實數根均為正整數，且m為整數，求m的值．

Answer 1

分析：（1）先分兩種情況討論，當m=0時方程的解為1和當m≠0時，△=b²-4ac=m+2）²≥0有實數根，得出無論m取任何實數時，方程恒有實數根．
（2）根據（1）求出x的根，再根據x為整數，m為整數，求出m的值，從而求出x的值，再根據，x₁≠x₂，且x為正整數，即可求出m的值．

解答：解：（1）①當m=0時，方程為-2x+2=0，x=1，此一元一次方程有實根，
②當m≠0時，方程為一元二次方程mx²-（3m+2）x+2m+2=0，
∵a=m，b=-（3m+2），c=2m+2，
∴△=b²-4ac=[-（3m+2）]²-4m×（2m+2）=m²+4m+4=（m+2）²，
∵（m+2）²≥0，
∴無論m取任何實數時，方程恒有實數根；

（2）根據（1）可得：
x₁=

3m+2+(m+2)

2m

=

2m+2

m

=2+

2

m

，
x₂=

3m+2-(m+2)

2m

=1，
∵x為整數，m為整數，
∴m=1，-1，2，-2，
∴x₁=4，0，3，1，
∵x₁≠x₂，且x為正整數，
∴m=1或m=2．

點評：此題考查了根的判別式，掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；（3）△＜0?方程沒有實數根是本題的關鍵．