Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°，DB平分∠ABC，AD=2，翻折梯形ABCD使點B與點D重合．
（1）畫出翻折圖形，并求出折痕的長；
（2）若BC=3AD，（1）中的折痕與底邊BC的交點為E，求：的值．

Answer 1

解：（1）∵AD∥BC，DB平分∠ABC，∠ABC=60°，
∴∠ABD=∠DBE=∠ADB=30°，
∴AB=AD，
當(dāng)把梯形ABCD翻折使B點與點D重合，
則折痕過點A，AE與BC交于點E
∴四邊形ABED為菱形，
又∵AD=2，
∴折痕AE=2．

（2）由（1）知四邊形ABED為菱形，
∴AD=AB=BE=DE，∠DEC=60°，
過點D作DF⊥BC于F．
∴EF=DE，
設(shè)EF=a，則DE=2a．
∴DF=a，
又∵BC=3AD=3BE，
∴EC=2BE=2DE=4a，
∴FC=3a，
在Rt△DFC中，
DC²=DF²+FC²，
∴DC=2a，
∴=．
分析：（1）要畫翻折圖形，首先確定折痕的位置．根據(jù)翻折梯形ABCD使點B與點D重合，則折痕是BD的垂直平分線．再根據(jù)已知條件得到AB=AD，則折痕一定過點A，交BC于點E，則四邊形ABED即是菱形．再根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)即可求得折痕AE的長；
（2）作DF⊥BC于F．得到30度的直角三角形DEF．若設(shè)EF=a，則DE=2a，DF=a．根據(jù)BC=3AD和菱形的四條邊都相等，得到CE=2DE=4a，則CF=3a．根據(jù)勾股定理求得CD=2a，最后求得它們的比值即可．
點評：本題考查了折疊變換，此題要能夠根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)得到折痕過點A，綜合運用菱形的判定和性質(zhì)、30度的直角三角形和勾股定理進行計算．