Question

1．?dāng)?shù)學(xué)思想運用：

（1）如圖①所示，△ABC的外角平分線交于G，若∠A=80°，則∠BGC=40°，請你猜測∠BGC和∠A的數(shù)量關(guān)系：∠BGC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
（2）如圖②所示，若△ABC的內(nèi)角平分線交于點I，若∠A=50°，則∠BIC=115°，請你猜測∠BIC和∠A的數(shù)量關(guān)系：∠BIC=90°+$\frac{1}{2}$∠A．
（3）已知，如圖③，△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACE的平分線交于D點，請你猜測∠D和∠A的數(shù)量關(guān)系：∠D=$\frac{1}{2}∠$A．若∠A=70°，求∠D的度數(shù)（寫出求解過程）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線定義得出∠2=$\frac{1}{2}$∠EBC，∠3=$\frac{1}{2}$∠FCB，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠EBC=∠A+∠ACB，∠FCB=∠A+∠ABC，求出∠2+∠3=$\frac{1}{2}$（180°+∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠BGC=180°-（∠2+∠3），代入求出即可；
（2）由∠ABC與∠ACB的平分線交于點I，可求∠IBC+∠ICB的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和定理求∠BIC；
（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線性質(zhì)，先求出∠D的等式，再與∠A比較即可解答．

解答 解：（1）∠BGC=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
理由是：∵點P是△ABC中兩外角∠EBC與∠FCB平分線的交點，
∴∠2=$\frac{1}{2}$∠EBC，∠3=$\frac{1}{2}$∠FCB，
∵∠EBC=∠A+∠ACB，∠FCB=∠A+∠ABC，
∴∠EBC+∠FCB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A，
∴∠2+∠3=$\frac{1}{2}$（180°+∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠BGC=180°-（∠2+∠3）=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
∵∠A=80°，
∴∠BGC=40°；
故答案為：40°，∠BGC=90°-$\frac{1}{2}$∠A；

（2）∵BD、CE分別是∠ABC、∠ACB的平分線，
∴∠IBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ICB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB，
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A），
=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
即：∠BIC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
∵∠A=50°，
∴∠BIC=115°，
故答案為：115°，∠BIC=90°+$\frac{1}{2}$∠A；

（3）∠D=$\frac{1}{2}$∠A；
證明：∵∠ABC的平分線與∠ACE的平分線交于D點，
∴∠ABC=2∠DBC，∠ACE=2∠DCE，
∵∠DCE是△BCD的外角，
∴∠D=∠DCE-∠DBE，
∵∠ACE是△ABC的外角，
∠A=∠ACE-∠ABC=2∠DCE-2∠DBE=2（∠DCE-∠DBE），
∴∠D=$\frac{1}{2}∠$A；
∵∠A=70°，
∴∠D=35°，
故答案為：∠D=$\frac{1}{2}∠$A．

點評 本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能溝通三角形的內(nèi)角和外角的關(guān)系．