Question

已知⊙O直徑為2，△ABC為⊙O內(nèi)接三角形，點I為△ABC內(nèi)心，求ID長為

 

．

Answer 1

考點：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：計算題

分析：連結(jié)BD，BI，BD，CD，如圖，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)得∠2=∠4，∠5=∠6，再根據(jù)圓周角定理得∠7=∠4，則∠2=∠7，接著利用三角形外角性質(zhì)得∠1=∠2+∠5，于是得到∠1=∠7+∠6，即∠1=∠DBI，所以ID=BD，再證明△BDC為等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得BD=

2

2

BC=

2

，即有ID=

2

．

解答：解：連結(jié)BD，BI，BD，CD，如圖，
∵點I為△ABC內(nèi)心，
∴AD平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠2=∠4，∠5=∠6，
∵∠7=∠4，
∴∠2=∠7，
∵∠1=∠2+∠5，
∴∠1=∠7+∠6，即∠1=∠DBI，
∴ID=BD，
∵BC為直徑，
∴∠BDC=90°，
∵∠2=∠4，
∴

BD

=

CD

，
∴BD=CD，
∴△BDC為等腰直角三角形，
∴BD=

2

2

BC=

2

2

×2=

2

，
∴ID=

2

．
故答案為

2

．

點評：本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點．也考查了圓周角定理．