Question

6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，四邊形ABCO是矩形，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別是A（0，2）和C（2$\sqrt{3}$，0），點(diǎn)D是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，C重合），連結(jié)BD，作DE⊥DB，交x軸于點(diǎn)E，以線段DE，DB為鄰邊作矩形BDEF．
（1）填空：點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$，2）；
（2）是否存在這樣的點(diǎn)D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出AD的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）①求證：$\frac{DE}{DB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
②設(shè)AD=x，矩形BDEF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（可利用①的結(jié)論），并求出y的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出AB、BC的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題；
（2）存在．連接BE，取BE的中點(diǎn)K，連接DK、KC．首先證明B、D、E、C四點(diǎn)共圓，可得∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，由tan∠ACO=$\frac{AO}{OC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，推出∠ACO=30°，∠ACD=60°由△DEC是等腰三角形，觀察圖象可知，只有ED=EC，推出∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，推出∠DBC=∠BCD=60°，可得△DBC是等邊三角形，推出DC=BC=2，由此即可解決問(wèn)題；
（3）①由（2）可知，B、D、E、C四點(diǎn)共圓，推出∠DBC=∠DCE=30°，由此即可解決問(wèn)題；
②作DH⊥AB于H．想辦法用x表示BD、DE的長(zhǎng)，構(gòu)建二次函數(shù)即可解決問(wèn)題；

解答 解：（1）∵四邊形AOCB是矩形，
∴BC=OA=2，OC=AB=2$\sqrt{3}$，∠BCO=∠BAO=90°，
∴B（2$\sqrt{3}$，2）．
故答案為（2$\sqrt{3}$，2）．

（2）存在．理由如下：
連接BE，取BE的中點(diǎn)K，連接DK、KC．

∵∠BDE=∠BCE=90°，
∴KD=KB=KE=KC，
∴B、D、E、C四點(diǎn)共圓，
∴∠DBE=∠DCE，∠EDC=∠EBC，
∵tan∠ACO=$\frac{AO}{OC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ACO=30°，∠ACB=60°
①如圖1中，當(dāng)E在線段CO上時(shí)，△DEC是等腰三角形，觀察圖象可知，只有ED=EC，
∴∠DBE=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，
∴∠DBC=∠BCD=60°，
∴△DBC是等邊三角形，
∴DC=BC=2，
在Rt△AOC中，∵∠ACO=30°，OA=2，
∴AC=2AO=4，
∴AD=AC-CD=4-2=2．
∴當(dāng)AD=2時(shí)，△DEC是等腰三角形．
②如圖2中，當(dāng)E在OC的延長(zhǎng)線上時(shí)，△DCE是等腰三角形，只有CD=CE，∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°，
∴∠ABD=∠ADB=75°，
∴AB=AD=2$\sqrt{3}$，
綜上所述，滿(mǎn)足條件的AD的值為2或2$\sqrt{3}$．

（3）①由（2）可知，B、D、E、C四點(diǎn)共圓，
∴∠DBE=∠DCO=30°，
∴tan∠DBE=$\frac{DE}{DB}$，
∴$\frac{DE}{DB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

②如圖2中，作DH⊥AB于H．

在Rt△ADH中，∵AD=x，∠DAH=∠ACO=30°，
∴DH=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$x，AH=$\sqrt{A{D}^{2}-D{H}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴BH=2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
在Rt△BDH中，BD=$\sqrt{B{H}^{2}+D{H}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{2}x）^{2}+（2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x）^{2}}$，
∴DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$•$\sqrt{（\frac{1}{2}x）^{2}+（2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x）^{2}}$，
∴矩形BDEF的面積為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$[$\sqrt{（\frac{1}{2}x）^{2}+（2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x）^{2}}$]²=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x²-6x+12），
即y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-2$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$，
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-3）²+$\sqrt{3}$，
∵$\frac{\sqrt{3}}{3}$＞0，
∴x=3時(shí)，y有最小值$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似形綜合題、四點(diǎn)共圓、銳角三角函數(shù)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線，證明B、D、E、C四點(diǎn)共圓，學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．