Question

如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm，AD是斜邊BC上的高，垂足為D，BE=1cm．點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)E出發(fā)，與點(diǎn)M同時(shí)同方向以相同的速度運(yùn)動(dòng)，以MN為邊在BC的上方作正方形MNGH．點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)G剛好落在線段AD上？
（2）設(shè)正方形MNGH與Rt△ABC重疊部分的圖形的面積為S，當(dāng)重疊部分的圖形是正方形時(shí)，求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量t的取值范圍．
（3）設(shè)正方形MNGH的邊NG所在直線與線段AC交于點(diǎn)P，連接DP，當(dāng)t為何值時(shí)，△CPD是等腰三角形？

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題,勾股定理

專題：幾何綜合題

分析：（1）求出ED的距離即可求出相對(duì)應(yīng)的時(shí)間t；
（2）先求出t的取值范圍，分為H在AB上時(shí)，此時(shí)BM的距離，進(jìn)而求出相應(yīng)的時(shí)間．同樣當(dāng)G在AC上時(shí)，求出MN的長(zhǎng)度，繼而算出EN的長(zhǎng)度即可求出時(shí)間，再通過(guò)正方形的面積公式求出正方形的面積；
（3）分兩種情況，分別是DP=PC時(shí)和DC=PC時(shí)，分別EN的長(zhǎng)度便可求出t的值．

解答：解：由∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm
易知：AB=8cm，BD=4cm，AC=8

3

cm，DC=12cm，AD=4

3

cm．
（1）∵當(dāng)G剛好落在線段AD上時(shí)，ED=BD-BE=3cm
∴t=

3

1

s=3s．

（2）∵當(dāng)MH沒(méi)有到達(dá)AD時(shí)，此時(shí)正方形MNGH是邊長(zhǎng)為1的正方形，令H點(diǎn)在AB上，則
∠HMB=90°，∠B=60°，MH=1
∴BM=

3

3

cm
∴t=

3

3

s
當(dāng)MH到達(dá)AD時(shí)，那么此時(shí)的正方形MNGH的邊長(zhǎng)隨著N點(diǎn)的繼續(xù)運(yùn)動(dòng)而增大，令G點(diǎn)在AC上，
設(shè)MN=xcm，則GH=DH=x，AH=

3

3

x，
∵AD=AH+DH=

3

3

x+x=4

3

，
∴x=6

3

-3．
當(dāng)

3

3

≤t≤4時(shí)，S_MNGH=1cm²
當(dāng)4＜t≤6

3

-3時(shí)，S_MNGH=（t-3）²cm²
故S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為：
S=

1( 3 3 ≤t≤4) (t-3)2(4＜t≤6 3 -3)

．

（3）分兩種情況：
①∵當(dāng)DP=PC時(shí)，易知此時(shí)N點(diǎn)為DC的中點(diǎn)，
∴MN=6cm
∴EN=3cm+6cm=9cm
∴t=9s
故當(dāng)t=9s的時(shí)候，△CPD為等腰三角形；
②當(dāng)DC=PC時(shí)，DC=PC=12cm
∴NC=6

3

cm
∴EN=16cm-1cm-6

3

cm=（15-6

3

）cm
∴t=（15-6

3

）s
故當(dāng)t=（15-6

3

）s時(shí)，△CPD為等腰三角形．
綜上所述，當(dāng)t=9s或t=（15-6

3

）s時(shí)，△CPD為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題充分考查了學(xué)生對(duì)相似三角形和勾股定理的理解和運(yùn)用，此題涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，有勾股定理．正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，利用學(xué)生系統(tǒng)的掌握知識(shí)，是一道好題．