Question

如圖，△ABC是等邊三角形，過點C作CD⊥CB交∠CBA的外角平分線于點D，連接AD，過點C作∠BCE=∠BAD，交AB的延長線于點E．
（1）求證：BD=BE；
（2）若CD=4，求AD的長．

Answer 1

證明：（1）∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC，
∴∠5=60°．
又∵∠5+∠CBE=180°，
∴∠CBE=120°．
又∵BD平分∠CBE，
∴．
∴∠5+∠3=∠4+∠3=120°．
即∴∠ABD=∠CBE．
∵在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（ASA）．
∴BD=BE．

（2）過D作DF⊥AE于F，
∴∠DFB=∠DCB=90°，
又∵∠CBD=∠FBD，BD=BD，
∴△CBD≌△FBD（AAS）．
∴CB=BF，DF=CD=4．
∵∠3=60°，∠BCD=90°，
∴∠CDB=30°，
∴設BC=x，則BD=2x，
則4²+x²=（2x）²，
解得：x=，
∵BD=BE，
∴BD=
在直角三角形BCD中，∵∠CBD=90°，
∴BC=，
∴BF=BC=．
∵AB=BC，
∴AF=AB+BF=+=．
直角三角形ADF中，AF=，DF=4．
∴根據(jù)勾股定理可得出AD=．
分析：（1）證明BD=BE，就是證明三角形ABD和CBE全等，這兩個三角形中已知的條件有：BC=AB，∠BCE=∠BAD，只要再得出一組對應角相等即可得出全等的結(jié)論，根據(jù)BD是∠CBE的平分線，那么∠CBD=∠DBE=（180-60）÷2=60°，因此∠ABD=60+60=120°=∠CBE，那么這兩個三角形全等的條件就都湊齊了（ASA），因此便可得出BD=BE；
（2）可通過構(gòu)建全等三角形將相等的線段進行轉(zhuǎn)換，過D作DF⊥AE于F，那么直角三角形BCD和BFD中，∠CBD=∠FBD，BD=BD，因此兩三角形就全等，要求AD的長在直角三角形ADF中，有了DF，AB的長，只要求出BF的長即可得出AD的值，那么關(guān)鍵就是求BF的長．
點評：本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，利用全等三角形來得出簡單的線段相等是解此類題的常用方法．