Question

如圖，在△ABC中，∠B=60°，∠BAC與∠BCA的平分線AD、CE分別交BC和AB于點D、E，AD與CE相交于點F，求證：FE=FD．

Answer 1

考點：角平分線的性質,全等三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義求出∠AFE=60°，∠AFC=120°，在AC上截取AG=AE，利用“邊角邊”證明△AEF和△AGF全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠AFG=∠AFE，全等三角形對應邊相等可得FE=FG，然后求出∠CFG=∠CFD=60°，再利用“角邊角”證明△CDF和△CGF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得FD=FG，從而得證．

解答：證明：∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-60°=120°，
∵AD、CE分別平分∠BAC與∠BCA，
∴∠FAC+∠FCA=

1

2

（∠BAC+∠BCA）=

1

2

×120°=60°，
∴∠AFE=60°，∠AFC=120°，
如圖，在AC上截取AG=AE，
則在△AEF和△AGF中，

AE=AG ∠EAF=∠CAF AF=AF

，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴∠AFG=∠AFE=60°，F(xiàn)E=FG，
∴∠CFG=∠CFD=60°，
在△CDF和△CGF中，

∠CFG=∠CFD CF=CF ∠ACE=∠BCE

，
∴△CDF≌△CGF（ASA），
∴FD=FG，
∴FE=FD．

點評：本題考查了角平分線的定義，全等三角形的判定與性質，作出輔助線構造成兩對全等三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．