Question

已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為邊CD上的動點(diǎn)（點(diǎn)P異于C、D兩點(diǎn)）。連接PM，過點(diǎn)P作PM的垂線與射線DA相交于點(diǎn)E（如圖）。設(shè)CP=x，
DE=y。
（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（     ） ；
（2）若點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，則x的值為（     ）；
（3）是否存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)D關(guān)于直線PE的對稱點(diǎn)D′落在邊AB上？若存在，求x的值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1 ）∵PE ⊥PM ，
∴∠EPM=90 °，
∴∠DPE+ ∠CPM=90 °，
又矩形ABCD ，
∴∠D=90 °，
∴∠DPE+ ∠DEP=90 °，
∴∠CPM= ∠DEP ，
又∠C= ∠D=90 °，
∴△CPM ∽△DEP ，
∴，
又CP=x ，DE=y ，AB=DC=4 ，
∴DP=4-x ，
又M 為BC 中點(diǎn)，BC=2 ，
∴CM=1 ，
∴，
則y=-x²+4x ；
（2 ）當(dāng)E 與A 重合時，DE=AD=2 ，
∵△CPM ∽△DEP ，
∴，
又CP=x ，DE=2 ，CM=1 ，DP=4-x ，
∴，即x²-4x+2=0 ，
解得：x=2+或x=2-，
則x 的值為2+或2-；
（3 ）存在，過P 作PH ⊥AB 于點(diǎn)H，
 
∵點(diǎn)D 關(guān)于直線PE 的對稱點(diǎn)D ′落在邊AB 上，
∴PD ′=PD=4-x ，ED ′=ED=y=-x2+4x ，EA=AD-ED=x2-4x+2 ，∠PD ′E= ∠D=90 °，
在Rt △D ′PH 中，PH=2 ，D ′P=DP=4-x ，
根據(jù)勾股定理得：D ′H=，
∵∠ED ′A=180 °-90 °- ∠PD ′H=90 °- ∠PD ′H= ∠D ′PH ，∠PD ′E= ∠PHD ′=90 °，
∴△ED ′A ∽△D ′PH ，
∴，
即，
整理得：2x²-4x+1=0 ，
解得：x=，
當(dāng)x=或x=時，
此時E 在DA 上或延長線上，符合題意，
則x=或x=時，點(diǎn)D 關(guān)于直線PE 的對稱點(diǎn)D ′落在邊AB 上
故答案為：（1）y=-x²+4x ；（2）2+或2-