Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的對(duì)角線AC=12，tan∠ACO=，

（1）求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）把矩形沿直線DE對(duì)折使點(diǎn)C落在點(diǎn)A處，DE與AC相交于點(diǎn)F，求直線DE的解析式；

（3）若點(diǎn)M在直線DE上，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以O(shè)、F、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：

一次函數(shù)綜合題．

分析：

（1）利用三角函數(shù)求得OA以及OC的長(zhǎng)度，則C、B的坐標(biāo)即可得到；

（2）直線DE是AC的中垂線，利用待定系數(shù)法以及互相垂直的兩直線的關(guān)系即可求得DE的解析式；

（3）分當(dāng)FM是菱形的邊和當(dāng)OF是對(duì)角線兩種情況進(jìn)行討論．利用三角函數(shù)即可求得N的坐標(biāo)．

解答：

解：（1）在直角△OAC中，tan∠ACO=，

∴設(shè)OA=x，則OC=3x，

根據(jù)勾股定理得：（3x）²+（x）²=AC²，

即9x²+3x²=144，

解得：x=2．

故C的坐標(biāo)是：（6，0），B的坐標(biāo)是（6，6）；

（2）直線AC的斜率是：﹣=﹣，

則直線DE的斜率是：．

F是AC的中點(diǎn)，則F的坐標(biāo)是（3，3），設(shè)直線DE的解析式是y=x+b，

則9+b=3，解得：b=﹣6，

則直線DE的解析式是：y=x﹣6；

（3）OF=AC=6，

∵直線DE的斜率是：．

∴DE與x軸夾角是60°，

當(dāng)FM是菱形的邊時(shí)（如圖1），ON∥FM，

則∠NOC=60°或120°．

當(dāng)∠NOC=60°時(shí)，過(guò)N作NG⊥y軸，則NG=ON•sin30°=6×=3，

OG=ON•cos30°=6×=3，則N的坐標(biāo)是（3，3）；

當(dāng)∠NOC=120°時(shí)，與當(dāng)∠NOC=60°時(shí)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則坐標(biāo)是（﹣3，﹣3）；

當(dāng)OF是對(duì)角線時(shí)（如圖2），MN關(guān)于OF對(duì)稱(chēng)．

∵F的坐標(biāo)是（3，3），

∴∠FOD=∠NOF=30°，

在直角△ONH中，OH=OF=3，ON===2．

作NL⊥y軸于點(diǎn)L．

在直角△ONL中，∠NOL=30°，

則NL=ON=，

OL=ON•cos30°=2×=3．

故N的坐標(biāo)是（，3）．

則N的坐標(biāo)是：（3，3）或（﹣3，﹣3）或（，3）．