Question

如圖，直線y=ax+3與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，與雙曲線y=

k

x

交于C、D兩點(diǎn)，若△DOB的面積為2，則△AOC的面積為

 

．

Answer 1

分析：設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則x₁y₁=x₂y₂=k，聯(lián)立直線與雙曲線解析式得ax²+3x-k=0，可知x₁•x₂=-

k

a

=-

x2 •y2

a

，可得y₂=-ax₁，由直線y=ax+3得OA=3，OB=-

3

a

，則S_△AOC=

1

2

×3×x₁，S_△BOD=

1

2

×（-

3

a

）×y₂=

1

2

×（-

3

a

）×（-ax₁），比較S_△AOC與S_△BOD的大小即可．

解答：解：如圖，設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
∵C、D兩點(diǎn)在雙曲線y=

k

x

上，
∴x₁y₁=x₂y₂=k，
聯(lián)立

y=ax+3 y= k x

，得ax²+3x-k=0，
由根與系數(shù)關(guān)系，得x₁•x₂=-

k

a

=-

x2 •y2

a

，
解得y₂=-ax₁，
∵A、B兩點(diǎn)是直線y=ax+3與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，
∴OA=3，OB=-

3

a

，
∴S_△AOC=

1

2

×3×x₁=

3

2

x₁，
S_△BOD=

1

2

×（-

3

a

）×y₂=

1

2

×（-

3

a

）×（-ax₁）=

3

2

x₁，
∴S_△AOC=S_△BOD=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)雙曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，根與系數(shù)關(guān)系，三角形面積的表示方法，通過代數(shù)變形，得出已知三角形與所求三角形的面積關(guān)系．