Question

16．如圖，AB是⊙O的直徑，PA，PC分別是⊙O的切線，切點(diǎn)分別為A，C，連接BC、BP、OP．
（1）求證：BC∥OP；
（2）若AB=AP，求tan∠BPC的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和切線的性質(zhì)證明即可；
（2）首先證明△ABC≌△PAF，設(shè)BC=AF=CF=a，則AC=PF=2a，AB=AP=PC=$\sqrt{5}$a，由BC∥OP，得$\frac{BC}{PO}$=$\frac{CE}{OE}$=$\frac{a}{\frac{5}{2}a}$=$\frac{2}{5}$，求出CE，根據(jù)tan∠BPC=$\frac{EC}{PC}$，即可解決問(wèn)題．

解答 （1）證明：連接AC交OP于F，連接OC．
∵PA，PC是圓的切線，
∴PA=PC，
∴點(diǎn)P在AC的垂直平分線上，
∵OA=OC，
∴點(diǎn)O在AC的垂直平分線上，
∴PO垂直平分AC．
∴∠OFA=90°．
∵BC是直徑，
∴∠ACB=90°．
∴∠OFA=∠ACB．
∴BC∥OP；
（2）解：∵PA，PC分別是⊙O的切線，
∴OA⊥AP，OC⊥PC，
∴∠BAP=∠OCP=90°，
∵AB=AP，
∴∠OBE=45°，
在△ABC和△PAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCA=∠AFB}\\{∠BAC=∠APF}\\{AB=AP}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△PAF，
∴BC=AF=CF，AC=PF，設(shè)BC=AF=CF=a，則AC=PF=2a，AB=AP=PC=$\sqrt{5}$a，
∴OA=OC=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，OP=$\sqrt{A{P}^{2}+O{A}^{2}}$=$\frac{5}{2}$a，
∵BC∥OP，
∴$\frac{BC}{PO}$=$\frac{CE}{OE}$=$\frac{a}{\frac{5}{2}a}$=$\frac{2}{5}$，
∴CE=$\frac{2}{7}$OC=$\frac{\sqrt{5}}{7}$a，
∴tan∠BPC=$\frac{EC}{PC}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{7}a}{\sqrt{5}a}$=$\frac{1}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．