Question

9．如圖，在平面直角坐標系中，菱形OABC的一邊在x軸上，反比例函數y-$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象經過菱形兩對交線的交點，且與AB所在直線交于點D，已知AC•OB=64$\sqrt{2}$，OC=8，則以下結論：①k=-16$\sqrt{2}$；②點D的縱坐標為4$\sqrt{2}$；③∠OBC=22.5°；④反比例函數y=-$\frac{k}{x}$隨x的增大而增大；⑤tan∠AOC=1，其中正確的是（　�。�

• A． ①③⑤
• B． ②③⑤
• C． ②③④⑤
• D． ①②③④⑤

Answer 1

分析 延長BA交y軸于點H，過點E作EF⊥OC于點F．①運用菱形的面積公式可求出△ECO的面積，根據△EFO的面積小于△ECO的面積可解決問題；②要求點D的縱坐標，只需根據菱形的面積公式（底乘以高）求出OH即可；③只需解直角三角形OHA，就可求出∠AOH，即可得到∠AOC，再根據菱形的性質，就可求出∠OBC；④只需根據k的符號，就可確定反比例函數y=-$\frac{k}{x}$的增減性；⑤根據∠AOC的度數即可得到tan∠AOC的值．

解答 解：延長BA交y軸于點H，過點E作EF⊥OC于點F，如圖．
①∵四邊形OABC是菱形，
∴S_菱形OABC=$\frac{1}{2}$AC•OB=$\frac{1}{2}$×64$\sqrt{2}$=32$\sqrt{2}$，
∴S_△ECO=$\frac{1}{4}$S_菱形OABC=8$\sqrt{2}$，
∴S_△EFO=$\frac{1}{2}$OF•EF=$\frac{1}{2}$（-k）＜8$\sqrt{2}$，
∴k＞-16$\sqrt{2}$．故①錯誤；
②∵S_菱形OABC=OC•OH=8OH=32$\sqrt{2}$，
∴OH=4$\sqrt{2}$，故②正確；
③在Rt△OHA中，
∵OA=OC=8，OH=4$\sqrt{2}$，
∴AH=4$\sqrt{2}$=OH，
∴tan∠AOH=1，
∴∠AOH=45°，
∴∠AOC=45°．
∵四邊形OABC是菱形，
∴∠ABO=∠CBO=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠AOC=22.5°，故③正確；
④由圖可知k＜0即-k＞0，反比例函數y=-$\frac{k}{x}$在一、三象限，
所以在每個象限y隨x的增大而減小，故④錯誤；
⑤tan∠AOC=tan45°=1，故⑤正確．
故選B．

點評 本題主要考查了反比例函數的性質、反比例函數圖象上點的坐標特征、菱形的性質、勾股定理、特殊角的三角函數值等知識，運用菱形的面積公式（菱形的面積等于底乘以高，也等于對角線乘積的一半）是解決本題的關鍵．