Question

3．如圖，已知⊙O的半徑為6cm，射線PM經(jīng)過點O，OP=10cm，射線PN與⊙O相切于點Q．A、B兩點同時從點P出發(fā)，點A以5cm/s的速度沿射線PM方向運動，點B以4cm/s的速度沿射線PN方向運動，設運動時間為t s．
（1）求PQ的長；
（2）當直線AB與⊙O相切時，求證：AB⊥PN；
（3）當t為何值時，直線AB與⊙O相切？

Answer 1

分析 （1）連接OQ，在Rt△OPQ中，利用勾股定理即可解決問題．
（2）如圖2中，過點O作OC⊥AB于C．只要證明△PBA∽△PQO，即可推出∠PBA=∠PQO=90°．
（3）首先證明四邊形OCBQ是矩形，分兩種情形列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，連接OQ，

∵PN與⊙O相切于點Q，
∴OQ⊥PN，
∴∠OQP=90°，
∵OQ=6cm，OP=10cm，
∴PQ=$\sqrt{O{P}^{2}-O{Q}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8．

（2）如圖2中，過點O作OC⊥AB于C．

由題意，PA=5t，PB=4t，
∵OP=10，PQ=8，
∴$\frac{PA}{PO}$=$\frac{PB}{PQ}$，∵∠P=∠P，
∴△PBA∽△PQO，
∴∠PBA=∠PQO=90°，
∴AB⊥PN．

（3）∵∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°，
∴四邊形OCBQ是矩形，
∴BQ=OC=6，
∵OC=6cm，
∴BQ=6cm．
①當AB運動到圖2位置時，BQ=PQ-PB=6，
∴8-4t=6，
∴t=0.5s，

②當AB運動到圖3位置時，

BQ=AB-PQ=6，
∴4t-8=6，
∴t=3.5s，
綜上所述，t=0.5s或3.5s時，直線AB與⊙O相切．

點評 本題考查圓的綜合題、勾股定理．相似三角形的判定和性質、矩形的性質和判定、切線的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，屬于中考常考題型．