Question

如圖，在△ABC中，AC=BC，∠A=30°，D為AB的中點(diǎn)，∠EDF=60°，E，F(xiàn)分別在AC，BC上
（1）當(dāng)點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，求

DE

DF

的值；
（2）線段CE、CF、AC存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),含30度角的直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=60°，∠ADC=∠BDC=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得DG=

1

2

AC=CG，DH=

1

2

BC=CH，根據(jù)等邊三角形的判定，可得△DCG、△DCH是等邊三角形，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得DE與DF的關(guān)系，根據(jù)比的意義，可得答案；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得CG與CH的關(guān)系，根據(jù)等式的性質(zhì)，可得CE與HF的關(guān)系，根據(jù)等量代換，可得CF-HF=CF-CE=CH=

1

2

BC=

1

2

AC，根據(jù)等式的性質(zhì)，可得答案．

解答：解：（1）如圖：

分別取AC、BC的中點(diǎn)G、H，連接DG，DH，
∵△ABC是等腰三角形，∠A=30°，AD是中線，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=60°，∠ADC=∠BDC=90°，
∴DG=

1

2

AC=CG，DH=

1

2

BC=CH，
∴△DCG、△DCH是等邊三角形，
∴DG=DC，∠CDG=∠EDF=∠DCF=60°，
∴∠EDG=∠CDF，
在△DEG和△DFC中，

∠EGD=∠FCD DG=DC ∠EDG=∠FDC

，
∴△DEG≌△DFC（ASA），
∴GE=CF，DE=DF，即

DE

DF

=1；
（2）∵△DCG、△DCH是等邊三角形，DC=DC，
∴△DCG≌△DCH（SSS），
∴CG=CH．
∵EG-CG=CF-CH，
∴CE=HF，
∴CF-HF=CF-CE=CH=

1

2

BC=

1

2

AC，
∴AC=2（CF-CE）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．