Question

已知：如圖，在矩形ABCD中，M，N分別是邊AD，BC的中點，E，F(xiàn)分別是線段BM，CM的中點．
（1）求證：△ABM≌△DCM；
（2）判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形，并證明你的結(jié)論；
（3）當AD：AB=

 

時，四邊形MENF是正方形（只寫結(jié)論，不需證明）．

Answer 1

考點：矩形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),菱形的判定,正方形的判定

專題：

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AB=CD，∠A=∠D=90°，再根據(jù)M是AD的中點，可得AM=DM，然后再利用SAS證明△ABM≌△DCM；
（2）四邊形MENF是菱形．首先根據(jù)中位線的性質(zhì)可證明NE∥MF，NE=MF，可得四邊形MENF是平行四邊形，再根據(jù)△ABM≌△DCM可得BM=CM進而得ME=MF，從而得到四邊形MENF是菱形；
（3）當AD：AB=2：1時，四邊形MENF是正方形，證明∠EMF=90°根據(jù)有一個角為直角的菱形是正方形得到結(jié)論．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠D=90°，
又∵M是AD的中點，
∴AM=DM．
在△ABM和△DCM中，

AB=CD ∠A=∠D AM=DM

，
∴△ABM≌△DCM（SAS）．

（2）解：四邊形MENF是菱形．
證明如下：
∵E，F(xiàn)，N分別是BM，CM，CB的中點，
∴NE∥MF，NE=MF．
∴四邊形MENF是平行四邊形．
由（1），得BM=CM，∴ME=MF．
∴四邊形MENF是菱形．

（3）解：2：1．　
當AD：AB=2：1時，四邊形MENF是正方形．理由：
∵M為AD中點，
∴AD=2AM．
∵AD：AB=2：1，
∴AM=AB．
∵∠A=90，
∴∠ABM=∠AMB=45°．
同理∠DMC=45°，
∴∠EMF=180°-45°-45°=90°．
∵四邊形MENF是菱形，
∴菱形MENF是正方形．

點評：此題主要考查了矩形的性質(zhì)，以及菱形的判定和正方形的判定，關鍵是掌握菱形和正方形的判定方法．