Question

如圖，正方形ABCD的頂點A、B在x軸的負半軸上，定點C、D在第二象限．將正方形ABCD繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，B、C、D的對應點分別為B₁、C₁、D₁，且D₁、C₁、O三點在一條直線上．記點D₁的坐標是（m，n）．
（1）設(shè)∠DAD₁=30°，n=，
①求正方形ABCD的邊長；
②求直線D₁C₁的解析式；
（2）若∠DAD₁＜90°，m，n滿足m+n=-2，點C₁和點O之間的距離是，求直線D₁C₁的解析式．

Answer 1

解：（1）①如圖，過D₁作D₁E⊥x軸于E，
∵∠DAD₁=30°，AD∥D₁E，
∴∠AD₁E=30°，
又n=
∴AD₁=2，
即正方形ABCD的邊長為2；

②∵∠DAD₁=30°，
∴∠B₁AO=30°=∠DAD₁=30°，
而D₁、C₁、O三點在一條直線上，
∴直線D₁C₁的解析式為y=-tan30°x，
即y=-x；

（2）如圖，過C₁作直線GF∥y軸，交D₁F于F，
其中D₁F∥x軸，
∵AD₁=D₁C₁，
∠D₁EA=∠D₁FC₁=90°，
∠D₁AE=∠D₁C₁F，
∴△D₁AE≌△D₁C₁F，
∴D₁E=D₁F，
又m+n=-2，①
∴G（-2，0）
而OC₁=，
∴GC₁=1
∴C₁坐標為（-2，1），
∵D₁、C₁、O三點在一條直線上，
設(shè)C₁O所在直線為：y=kx，將（-2，1）代入得：
∴k=-，
∴直線D₁C₁的解析式為y=-x．
分析：（1）①過D₁作D₁E⊥x軸于E，由∠DAD₁=30°，AD∥D₁E得到∠AD₁E=30°，而D₁E=n=，由此即可求出正方形的邊長；
②根據(jù)旋轉(zhuǎn)得∠B₁AO=30°=．∠DAD₁=30°，由此得到直線D₁C₁的解析式的k=-tan30°，又經(jīng)過O，所以解析式即可求出
（2）如圖，過C₁作直線GF∥y軸，交D₁F于F，其中D₁F∥x軸，根據(jù)已知條件證明△D₁AE≌△D₁C₁F，了用全等三角形的性質(zhì)得到D₁E=D₁F，而m+n=-2，由此可以得到G的坐標，從而求出GC₁=1，求出C₁坐標為（-2，1），
再利用D₁、C₁、O三點在一條直線上，即可得出直線D₁C₁的解析式．
點評：本題是一次函數(shù)與正方形相結(jié)合的問題，在圖形中滲透旋轉(zhuǎn)的觀點是中考中經(jīng)常出現(xiàn)的問題，也是一個難點問題．