Question

△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D、E、F分別在AB、AC，BC上，且AD=AE，DC為EF中垂線，求證：BF=2AD．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：連接DE，DF，設(shè)DC與EF相交于點(diǎn)O，設(shè)AD=x，表示DE，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理求出DE∥BC，再求出DE=FC，從而判斷出四邊形DECF是平行四邊形，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得FC=DF，判斷出四邊形DECF是菱形，根據(jù)菱形的四條邊都相等可得DE=EC=

2

x，再求出BC，然后根據(jù)BF=BC-FC表示出BF，從而得證．

解答：證明：連接DE，DF，設(shè)DC與EF相交于點(diǎn)O，
設(shè)AD=x，則AE=x，
∵AD=AE，∠A=90°，
∴DE=

2

x，
∵AB=AC，AD=AE，
∴

AD

AB

=

AE

AC

，
∴DE∥BC，
∴

DE

FC

=

EO

FO

，
∵DC為EF中垂線，
∴EO=FO，
∴DE=FC，
又∵DE∥FC，
∴四邊形DECF是平行四邊形，
∵DC為EF中垂線，
∴FC=DF，
∴四邊形DECF是菱形，
∴DE=EC=

2

x，
∴AC=x+

2

x，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠B=45°，
∴BC=

2

AC=

2

（x+

2

x）=

2

x+2x，
∴BF=BC-FC=

2

x+2x-

2

x=2x，
∴BF=2AD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并用AD表示出BF是解題的關(guān)鍵．