Question

11．如圖，已知點A（1，2）是函數(shù)y=$\frac{2}{x}$（x＞0）的圖象的點，連結(jié)OA，作OA⊥0B，與圖象y=$\frac{-6}{x}$（x＞0）交于點B．
（1）求點B的坐標；
（2）求OA：0B的值；
（3）若點A在雙曲線上移動，保持OA⊥0B不變，OA：OB的值變嗎？

Answer 1

分析 （1）過A作AC垂直于y軸，過B作BD垂直于y軸，利用垂直的定義可得出一對直角相等，再由OA與OB垂直，利用平角的定義得到一對角互余，在直角三角形AOC中，兩銳角互余，利用同角的余角相等得到一對角相等，利用兩對對應(yīng)角相等的三角形相似得到三角形AOC與三角形OBD相似，利用反比例函數(shù)k的幾何意義求出兩三角形的面積，得出面積比，利用面積比等于相似比的平方求出相似比，即$\frac{OC}{BD}=\frac{AC}{OD}$的比值，可得BD、OD，易得點B的坐標；
（2）由（1）利用面積比等于相似比的平方求出相似比，即$\frac{OC}{BD}=\frac{AC}{OD}$=$\frac{OA}{OB}$；
（3）因為S_△AOC、S_△BOD不變，利用利用面積比等于相似比的平方求出相似比，可得結(jié)論．

解答 解：（1）過A作AC⊥y軸，過B作BD⊥y軸，可得∠ACO=∠BDO=90°，
∴∠AOC+∠OAC=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
∴△AOC∽△OBD，
∵點A、B分別在反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$（x＞0），y=-$\frac{6}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴S_△AOC=1，S_△OBD=3，
∴S_△AOC：S_△OBD=1：3，
$\frac{OC}{BD}=\frac{AC}{OD}=\sqrt{\frac{{S}_{△ACO}}{{S}_{ODB}}}=\sqrt{\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即$\frac{2}{BD}=\frac{1}{OD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$BD=2\sqrt{3}$，OD=$\sqrt{3}$，
∴B（2$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$）；

（2）OA：OB=OC：BD=$\sqrt{3}$：3；

（3）不變．
∵點A在y=$\frac{2}{x}$上運動時，S_△AOC=1，S_△BOD=3，
∴$\frac{OA}{OB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

點評 本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標的特征，相似三角形的性質(zhì)及判定，利用面積比等于相似比的平方是解答此題的關(guān)鍵．