Question

如圖1，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，AB=4，BC=2，P是⊙O上半部分的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OP，CP．
（1）求△OPC的最大面積；
（2）求∠OCP的最大度數(shù)；
（3）如圖2，延長(zhǎng)PO交⊙O于點(diǎn)D，連接DB，當(dāng)CP=DB時(shí)，求證：CP是⊙O的切線．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）在△OPC中，底邊OC長(zhǎng)度固定，因此只要OC邊上高最大，則△OPC的面積最大；觀察圖形，當(dāng)OP⊥OC時(shí)滿足要求；
（2）PC與⊙O相切時(shí)，∠OCP的度數(shù)最大，根據(jù)切線的性質(zhì)即可求得；
（3）連接AP，BP通過(guò)△ODB≌△BPC可求得DP⊥PC，從而求得PC是⊙O的切線．

解答：（1）解：∵AB=4，
∴OB=2，OC=OB+BC=4．
在△OPC中，設(shè)OC邊上的高為h，
∵S_△OPC=

1

2

OC•h=2h，
∴當(dāng)h最大時(shí)，S_△OPC取得最大值．
觀察圖形，當(dāng)OP⊥OC時(shí)，h最大，如答圖1所示：

此時(shí)h=半徑=2，S_△OPC=2×2=4．
∴△OPC的最大面積為4．

（2）解：當(dāng)PC與⊙O相切時(shí)，∠OCP最大．如答圖2所示：

∵sin∠OCP=

OP

OC

=

2

4

=

1

2

，
∴∠OCP=30°
∴∠OCP的最大度數(shù)為30°．

（3）證明：如答圖3，連接AP，BP．

∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD，
∵

AD

=

PB

，
∴

AP

=

BD

，
∴AP=BD，
∵CP=DB，
∴AP=CP，
∴∠A=∠C
∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD=∠C，
在△ODB與△BPC中

BC=OB=2 ∠C=∠OBD CP=BD

，
∴△ODB≌△BPC（SAS），
∴∠D=∠BPC，
∵PD是直徑，
∴∠DBP=90°，
∴∠D+∠BPD=90°，
∴∠BPC+∠BPD=90°，
∴DP⊥PC，
∵DP經(jīng)過(guò)圓心，
∴PC是⊙O的切線．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．