Question

設(shè)方程mx²-（m-2）x+m-3=0有整數(shù)解，試確定整數(shù)m的值，并求出這時(shí)方程的所有整數(shù)解．

Answer 1

解：當(dāng)m=0，則2x-3=0，此時(shí)方程無整數(shù)解；
當(dāng)m≠0時(shí)，△=（m-2）²-4m（m-3）=-3m²+8m+4，
把它看作二次函數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，方程-3m²+8m+4有解，解為m=，
所以≤m≤時(shí)，-3m²+8m+4≥0，
因?yàn)閙是整數(shù)，故只能取1，2，3．
當(dāng)m=1時(shí)，方程x²+x-2=0有解，解為-2和1；
當(dāng)m=2時(shí)，方程2x²-4=0無整數(shù)解：
當(dāng)m=3時(shí)，方程3x²-x=0有整數(shù)解：0．
所以當(dāng)m=1時(shí)，方程x²+x-2=0有解，整數(shù)解為-2和1；當(dāng)m=3時(shí)，方程3x²-x=0有整數(shù)解，整數(shù)解為0．
分析：先討論m=0，方程無整數(shù)根；再討論m≠0，首先確定原方程有根，得到m的范圍，即△=（m-2）²-4m（m-3）=-3m²+8m+4≥0，利用二次函數(shù)的圖象可求出m的范圍，再根據(jù)m為整數(shù)，求出整數(shù)m，最后一一解方程得到滿足條件的整數(shù)m．
點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．同時(shí)考查了運(yùn)用二次函數(shù)解一元二次不等式和一元二次方程的解法．