Question

8．如圖，拋物線y=-x²+2mx（m＞1）交x軸于點O，A，頂點為M，以O(shè)A為邊向上方作正方形OABC，直線CM交x軸于點P，交直線AB于點Q，連接OQ交直線BC于點D，
（1）當(dāng)點M在BC的上方時，線段BC交拋物線于點E，F(xiàn)（點E在點F的左側(cè)），
        ①若EF=CE+BF，求m的值；
        ②若CP=OQ，求證：△OCD≌△CBQ；
（2）記點A關(guān)于OQ的對稱點為A′，是否存在m，使得A'落在拋物線的對稱軸上？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）①用m的代數(shù)式表示點E的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可角問題；
②首先證明Rt△PCO≌Rt△QOA，推出∠CPO=∠OQA，由OC∥AQ，BC∥AP，推出∠COD=∠AQO，∠CPO=∠QCB，推出∠QCB=∠COD，由此即可證明；
（2）存在．如圖1中，連接A′Q，作A′N⊥AB于N．首先證明△OAA′是等邊三角形，再求出直線CM的解析式，可得點Q坐標(biāo)，想辦法列出方程即可解決問題；

解答 （1）①解：由題意A（2m，0），C（0，2m），B（2m，2m），
由對稱性可知CE=BF，
∵EF=CE+BF，
∴CE=$\frac{1}{4}$BC，
∴E（$\frac{1}{2}$m，2m），把E點坐標(biāo)代入y=-x²+2mx得到2m=-$\frac{1}{4}$m²+m²，解得m=$\frac{8}{3}$或0（舍棄）
∴m=$\frac{8}{3}$．

②證明：如圖，

在Rt△PCO和Rt△QOA中，
$\left\{\begin{array}{l}{PC=OQ}\\{OC=OA}\end{array}\right.$，
∴Rt△PCO≌Rt△QOA，
∴∠CPO=∠OQA，
∵OC∥AQ，BC∥AP，
∴∠COD=∠AQO，∠CPO=∠QCB，
∴∠QCB=∠COD，
在△OCD和△CBQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠COD=∠QCB}\\{OC=BC}\\{∠OCD=∠CBQ}\end{array}\right.$，
∴△OCD≌△CBQ；

（2）存在．理由如下：
如圖1中，連接A′Q，作A′N⊥AB于N．

由題意OA=OA′=AA′，
∴△OAA′是等邊三角形，
∴∠AOQ=∠QOA′=30°，
∴∠A′QN=∠A′QO=∠AQO=60°，
∵C（0，2m），M（m，m²），
∴直線CM的解析式為y=（m-2）x+2m，
令x=2m，得到y(tǒng)=2m²-2m，
∴Q（2m，2m²--2m），
在Rt△A′QN中，A′N=A′Q•cos30°，
∴（2m²-2m）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=m，
∴m=$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$或0（舍棄），
∴滿足條件的m的值為$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、正方形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識解決問題，最后一個問題的突破點是發(fā)現(xiàn)等邊三角形解決問題，學(xué)會構(gòu)建方程，用方程的思想思考問題，屬于中考壓軸題．