Question

18．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，在△ABC外側(cè)作∠ACM，使得∠ACM=$\frac{1}{2}$∠ABC，點(diǎn)D是射線CB上的動點(diǎn)，過點(diǎn)D作直線CM的垂線，垂足為E，交直線AC于F．
（1）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時，如圖1所示，線段DF與EC的數(shù)量關(guān)系是DF=2EC；
（2）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動到CB延長線上某一點(diǎn)時，線段DF和EC是否保持上述數(shù)量關(guān)系？請?jiān)趫D2中畫出圖形，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1，延長BA、CM交于點(diǎn)N，先證明BC=BN，得出CN=2CE，再證明△BAF≌△CAN，得對應(yīng)邊相等BF=CN，即可得出結(jié)論；
（2）如圖2，結(jié)論仍然成立，作∠PDE=22.5，交CE的延長線于P點(diǎn)，交CA的延長線于N，先證明DC=PD，得出PC=2CE，再證明∴△DNF≌△PNC，得對應(yīng)邊相等DF=PC，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，DF=2EC，理由是：
延長BA、CM交于點(diǎn)N，
∵∠BAC=∠BEC=90°，∠AFB=∠EFC，
∴∠ABE=∠ACM=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴BE平分∠ABC，
∵BE⊥CN，
∴BC=BN，
∴E是CN的中點(diǎn)，
∴NC=2CE，
∵AB=AC，∠BAC=∠CAN=90°，
∴△BAF≌△CAN，
∴BF=CN，
∴BF=2EC，即DF=2EC；
（2）仍然成立，DF=2EC；
理由如下：如圖2，作∠PDE=22.5，交CE的延長線于P點(diǎn)，交CA的延長線于N，
∵DE⊥PC，∠ECD=67.5，
∴∠EDC=22.5°，
∴∠PDE=∠EDC，∠NDC=45°，
∴∠DPC=67.5°，
在△DPE和△DEC中，$\left\{\begin{array}{l}∠PDE=∠CDE\\∠DPE=∠DCE\\ DE=DE\end{array}\right.$，

∴△DPE≌△DEC（AAS），
∴PD=CD，PE=EC，
∴PC=2CE，
∵∠NDC=45°，∠NCD=45°，
∴∠NCD=∠NDC，∠DNC=90°，
∴△NDC是等腰直角三角形
∴ND=NC且∠DNC=∠PNC，
在△DNF和△PNC中，$\left\{\begin{array}{l}∠DNC=∠PNC\\ ND=NC\\∠PDE=∠PCN\end{array}\right.$，
∴△DNF≌△PNC（ASA），
∴DF=PC，
∴DF=2CE．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，恰當(dāng)?shù)刈龀鲚o助線，構(gòu)建全等三角形是本題的關(guān)鍵；巧妙地運(yùn)用了∠ACM=$\frac{1}{2}$∠ABC，為證兩三角形全等創(chuàng)造條件．