Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，E在線段AC上，D在AB的延長線，連DE交BC于F，過點(diǎn)E作EG⊥BC于G．
（1）若∠A=50°，∠D=30°，求∠GEF的度數(shù)；
（2）若BD=CE，求證：FG=BF+CG．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠C，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠CEG，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠CEF，然后計(jì)算即可得解；
（2）過點(diǎn)E作EH∥AB交BC于H，根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠ABC=∠EHC，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠D=∠FEH，然后求出∠EHC=∠C，再根據(jù)等角對等邊可得EC=EH，然后求出BD=EH，再利用“角角邊”證明△BDF和△HEF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BF=FH，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CG=HG，即可得證．

解答：（1）解：∵∠A=50°，
∴∠C=

1

2

（180°-∠A）=

1

2

（180°-50°）=65°，
∵EG⊥BC，
∴∠CEG=90°-∠C=90°-65°=25°，
∵∠A=50°，∠D=30°，
∴∠CEF=∠A+∠D=50°+30°=80°，
∴∠GEF=∠CEF-∠CEG=80°-25°=55°；

（2）證明：過點(diǎn)E作EH∥AB交BC于H，
則∠ABC=∠EHC，∠D=∠FEH，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠EHC=∠C，
∴EC=EH，
∵BD=CE，
∴BD=EH，
在△BDF和△HEF中，

∠D=∠FEH ∠EFH=∠DFB BD=EH

，
∴△BDF≌△HEF（AAS），
∴BF=FH，
又∵EC=EH，EG⊥BC，
∴CG=HG，
∴FG=FH+HG=BF+CG．

點(diǎn)評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，主要利用了等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，等角對等邊的性質(zhì)，（2）作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．