Question

16．如圖，AB為⊙O的直徑，CB，CD分別切⊙O于點(diǎn)B，D，CD交BA的延長線于點(diǎn)E，CO的延長線交⊙O于點(diǎn)G，EF⊥OG于點(diǎn)F．
（1）求證：∠FEB=∠ECF；
（2）若BC=6，DE=4，求EF的長．

Answer 1

分析 （1）利用切線長定理得到OC平分∠BCE，即∠ECO=∠BCO，利用切線的性質(zhì)得OB⊥BC，則∠BCO+∠COB=90°，由于∠FEB+∠FOE=90°，∠COB=∠FOE，所以∠FEB=∠ECF；
（2）連接OD，如圖，利用切線長定理和切線的性質(zhì)得到CD=CB=6，OD⊥CE，則CE=10，利用勾股定理可計(jì)算出BE=8，設(shè)⊙O的半徑為r，則OD=OB=r，OE=8-r，在Rt△ODE中，根據(jù)勾股定理得r²+4²=（8-r）²，解得r=3，所以O(shè)E=5，OC=3$\sqrt{5}$，然后證明△OEF∽△OCB，利用相似比可計(jì)算出EF的長．

解答 （1）證明：∵CB，CD分別切⊙O于點(diǎn)B，D，
∴OC平分∠BCE，即∠ECO=∠BCO，OB⊥BC，
∴∠BCO+∠COB=90°，
∵EF⊥OG，
∴∠FEB+∠FOE=90°，
而∠COB=∠FOE，
∴∠FEB=∠ECF；
（2）解：連接OD，如圖，
∵CB，CD分別切⊙O于點(diǎn)B，D，
∴CD=CB=6，OD⊥CE，
∴CE=CD+DE=6+4=10，
在Rt△BCE中，BE=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
設(shè)⊙O的半徑為r，則OD=OB=r，OE=8-r，
在Rt△ODE中，r²+4²=（8-r）²，解得r=3，
∴OE=8-3=5，
在Rt△OBC中，OC=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵∠COB=∠FOE，
∴△OEF∽△OCB，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{OE}{OC}$，即$\frac{EF}{6}$=$\frac{5}{3\sqrt{5}}$，
∴EF=2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．