Question

5．如圖，直線AD切⊙O于點D，直線AB經(jīng)過圓心O，交⊙O于點B、C，CE⊥AD，垂足為E，CE交⊙O于點F，連接CD．
（1）猜想$\widehat{BD}$和$\widehat{FD}$的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）若sin∠DCE=$\frac{3}{5}$，CE=8，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）$\widehat{BD}$=$\widehat{FD}$，連接OD，由切線的性質(zhì)和已知條件證明圓周角∠OCD=∠DCE即可；
（2）連接BD，易求CD的長，再由相等的角則其三角函數(shù)值也相等可求出sin∠DCB的值，進而可得到直徑BC的長，圓的半徑也就求出．

解答 解：（1）$\widehat{BD}$=$\widehat{FD}$，理由如下：
連接OD，
∵直線AD切⊙O于點D，
∴OD⊥AE，
∵CE⊥AD，垂足為E，
∴OD∥CE，
∴∠ODC=∠DCE，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠OCD=∠DCE，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{FD}$；
（2）連接BD，
∵sin∠DCE=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{DE}{CD}=\frac{3}{5}$，
∵CE=8，∠E=90°，
∴CD=10，
∵∠OCD=∠DCE，
∴sin∠DCB=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{DC}{BC}=\frac{4}{5}$，
∴BC=$\frac{25}{2}$，
∴⊙O的半徑=$\frac{25}{4}$．

點評 本題考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．