Question

在△ABC中，AB=AC，點O是線段AC與BC垂直平分線的交點，P、Q兩點分別在直線AC和AB上，AP=BQ．
（1）如圖①，當∠BAC=60°，點P、Q分別在線段AC、AB上時，求證：∠APO+∠AQO=180°；
（2）如圖②，當∠BAC=120°，點P、Q分別在CA、AB的延長線上時，則∠APO與∠AQO的數(shù)量關系是

 

；
（3）如圖③，在（2）的條件下，連接PQ、AO，若PQ⊥CP于點P，AO交BC于D，PO交BC于E，CD=6，求BE的長．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),含30度角的直角三角形

專題：

分析：（1）連接AO、BO、CO，易證△ABC是等邊三角形，即可證明△APO≌△BQO，可得∠APO=∠BQO，即可解題；
（2）連接AO、BO、CO，易證△OAB，△OAC是等邊三角形，即可證明△PAO≌△QBO，可得∠APO=∠AQO，即可解題；
（3）連接OB、OC，同理（1）問可知，AD⊥BC，且∠BAD=∠CAD=60°，BD=CD，易證PA=

1

2

AQ，BQ=

1

2

AQ，即可證明BE=OE，可得BE=

2

3

BD=

2

3

CD，即可解題．

解答：解：（1）連接AO、BO、CO，

∵點O是線段AC與BC垂直平分線的交點，
∴OA=OB=OC，
又∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，AB=BC=AC，
∴直線AO和直線BO分別是邊BC和AC的垂直平分線，
∴∠OAP=∠OBQ=

1

2

∠BAC=

1

2

∠ABC=30°，
∵在△APO和△BQO中，

AO=BO ∠PAO=∠QBO AP=BQ

，
∴△APO≌△BQO，（SAS）
∴∠APO=∠BQO，
∵∠BQO+∠AQO=180°，
∴∠APO+∠AQO=180°；
（2）連接AO、BO、CO，

∵點O是線段AC與BC垂直平分線的交點，
∴OA=OB=OC，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠BAO=∠CAO=60°，
∴△OAB，△OAC是等邊三角形，
∴∠QBO=120°，∠PAO=∠PAQ+∠BAO=120°，
∵在△PAO和△QBO中，

AP=BQ ∠PAO=∠QBO AO=BO

，
∴△PAO≌△QBO，（SAS）
∴∠APO=∠AQO；
（3）連接OB、OC，

同理（1）問可知，AD⊥BC，且∠BAD=∠CAD=60°，BD=CD，
∵OA=OB，
∴AB=AO=BO，且∠OBD=

1

2

∠OBA=30°，
∵∠BAC=120°，
∴∠PAQ=60°，∠PAO=120°，△APQ中，∠APQ=90°，∠AQP=30°，PA=

1

2

AQ，
∵AP=BQ，
∴BQ=

1

2

AQ，
∴AP=AB=AO，
∴∠AOP=30°，
∴∠BOE=30°，
∴BE=OE，
∴RT△ODE中，DE=

1

2

OE=

1

2

BE，
∴BE=

2

3

BD=

2

3

CD=4．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊、對應角相等的性質(zhì)，本題中求證△APO≌△BQO是解題的關鍵．