Question

如圖，BD是⊙O的直徑，P是圓外一點，PB、PD分別交⊙O于A、C兩點．
（1）找出圖中的一對相似三角形，并證明；
（2）延長PA到點F，連接FD，若AB=AF=AD，求證：FD是⊙O的切線；
（3）在（2）中，若BC=1，CD=，試求四邊形ABCD的周長．

Answer 1

（1）△PBC∽△PDA．
證明：∵ABDC是圓內接四邊形，
∴∠PBC=∠ADC，
又∵∠P=∠P，
∴△PBC∽△PDA；

（2）證明：∵BA=AF，
∴AD是△BDF的中線，
又∵AD=AB=AF，即AD=BF，
∴△BDF是直角三角形，∠BDF=90°，
∴BD⊥DF，
∴FD是⊙O的切線；

（3）解：∵BD是⊙O的直徑，
∴∠BCD=90°，∠BAD=90°
∴直角△BCD中，BD===3，
∵直角△ABD是等腰直角三角形，
∴AB=AD=BD=，
則四邊形ABCD的周長是：1+2++=1+5．
分析：（1）根據ABDC是圓內接四邊形，依據圓內接四邊形的性質，即可證得△PBC∽△PDA；
（2）易證AD是△BDF中BF邊上的中線，且等于這一邊的一半，即可證得BD與DF垂直，根據切線的判定定理即可證得；
（3）在直角△BCD中，利用勾股定理即可求得BD的長，△ABD是等腰直角三角形，即可求得AB、AD的長，則周長即可求得．
點評：本題考查了圓周角定義、勾股定理、以及切線的判定定理，證明切線的問題一般的解決方法是根據切線的判定定理轉化成證明垂直的問題．