Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線DE交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在DE的延長(zhǎng)線上，且AF=CE。
（1）四邊形ACEF是平行四邊形嗎？說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)∠B的大小滿足什么條件時(shí)，四邊形ACEF為菱形？請(qǐng)說(shuō)明你的結(jié)論；
（3）四邊形ACEF有可能是正方形嗎？為什么？

Answer 1

解：（1）四邊形ACEF是平行四邊形； ∵DE垂直平分BC， ∴D為BC的中點(diǎn)，ED?BC， 又∵AC⊥BC， ∴ED∥AC， ∴E為AB中點(diǎn)， ∴ED是△ABC的中位線 ∴BE=AE，F(xiàn)D∥AC ∴BE：AE=BD：CD， ∴BD=CD， ∴Rt△ABC中，CE是斜邊AB的中線， ∴CE=AE=AF ∴∠F=∠5=∠1=∠2 ∴∠FAE=∠AEC ∴AF∥EC 又∵AF=EC， ∴四邊形ACEF是平行四邊形； （2）當(dāng)∠B=30°時(shí)，四邊形ACEF為菱形； 證明：要使得平行四邊形ACEF為菱形，則AC=CE即可， ∴當(dāng)∠B=30°時(shí)，AC=AB， ∵CE=AB，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∴當(dāng)∠B=30°時(shí)，AB=2AC， 故∠B=30°時(shí)，四邊形ACEF為菱形； （3）四邊形ACEF不可能是正方形， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACE＜∠ACB， 即∠ACE＜90°，不能為直角， 所以四邊形ACEF不可能是正方形。