Question

20．已知：如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，點D是BC邊上一個動點（不與B、C點重合），∠ADE=45°
（1）求證：△ABD∽△DCE．
（2）設(shè)BD=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍．
（3）當(dāng)點D在線段BC的什么位置時，AE的長度最短？請說明理由，并求出AE的最短長度是多少？

Answer 1

分析 （1）先判斷△ABC為等腰直角三角形得到∠B=∠C=45°，再利用三角形內(nèi)角和得到∠1+∠2=135°，利用平角定義得到∠2++∠3=135°，則∠1=∠3，于是可根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似得到結(jié)論；
（2）由△ABD∽△DCE，對應(yīng)邊成比例及等腰直角三角形的性質(zhì)可求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)可求出其最小值．

解答 （1）證明：∵∠BAC=90°，AB=AC=1，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，
∴∠1+∠2=180°-∠B=135°，
∵∠ADE=45°，
∴∠2+∠3=135°，
∴∠1=∠3，
∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE；

（2）解：由（1）得△ABD∽△DCE，
∴$\frac{BD}{EC}=\frac{AB}{CD}$，
∵∠BAC=90°，AB=AC=1，
∴BC=$\sqrt{2}$，DC=$\sqrt{2}$-x，EC=1-y，
∴$\frac{x}{1-y}=\frac{1}{\sqrt{2}-x}$，
∴y=x²-$\sqrt{2}$x+1（0＜x$＜\sqrt{2}$）；

（3）解：∵y=x²-$\sqrt{2}$x+1=${（x-\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{2}$$+\frac{1}{2}$，
∴當(dāng)x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，y有最小值為$\frac{1}{2}$，
即BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，AE的最短長度是$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)定理和等腰直角三角形的性質(zhì)，綜合運用相似三角形的判定及性質(zhì)定理和二次函數(shù)的最值是解答此題的關(guān)鍵．