Question

如圖，拋物線y=

1

2

x²+mx+n交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P是它的頂點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是-3，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是1．
（1）求m、n的值；
（2）求直線PC的解析式；
（3）請(qǐng)?zhí)骄恳渣c(diǎn)A為圓心、直徑為5的圓與直線PC的位置關(guān)系，并說明理由．（參考數(shù)：

2

≈1.41，

3

≈1.73，

5

≈2.24）

Answer 1

分析：（1）由已知可得A（-3，0）、B（1，0），代入拋物線解析式，可求m，n值；（2）由已知的二次函數(shù)解析式可求P，C兩點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求直線PC的解析式；（3）關(guān)鍵是求點(diǎn)A到直線PC的距離，再與圓的半徑2.5進(jìn)行比較；為此，過點(diǎn)A作AE⊥PC，垂足為E，由△COD∽△AED，求出兩個(gè)三角形中相關(guān)線段長，利用相似比求AE；

解答：解：（1）由已知條件可知：拋物線y=

1

2

x²+mx+n經(jīng)過A（-3，0）、B（1，0）兩點(diǎn)．
∴

0= 9 2 -3m+n 0= 1 2 +m+n

，
解得m=1，n=-

3

2

．

（2）∵y=

1

2

x²+x-

3

2

，
∴P（-1，-2），C(0，-

3

2

)．
設(shè)直線PC的解析式是y=kx+b，則

-2=-k+b b=- 3 2

，
解得k=

1

2

，b=-

3

2

，
∴直線PC的解析式是y=

1

2

x-

3

2

．

（3）如圖，過點(diǎn)A作AE⊥PC，垂足為E．
設(shè)直線PC與x軸交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，0）．
在Rt△OCD中，
∵OC=

3

2

，OD=3，
∴CD=

( 3 2 )2+32

=

3

2

5

．
∵OA=3，OD=3，
∴AD=6．
∵∠COD=∠AED=90°，∠CDO公用，
∴△COD∽△AED．
∴

OC

AE

=

CD

AD

，即

3 2

AE

=

3 2 5

6

．
∴AE=

6 5

5

≈2.688＞2.5
∴以點(diǎn)A為圓心、直徑為5的圓與直線PC相離．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線解析式的求法，拋物線上特殊點(diǎn)的運(yùn)用，及直線與圓的位置關(guān)系的判定．