Question

如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足P是OB的中點，CD=2

3

cm，
求：（1）直徑AB的長．
  （2）弓形DBC的面積．（結(jié)果保留π）

Answer 1

分析：（1）連接OC，先證出PC=PD，求出PC，根據(jù)P是OB的中點，得出OP=

1

2

OB=

1

2

OC，再根據(jù)勾股定理求出OC的值，從而得出AB的長；
（2）在Rt△OPC中，根據(jù)OP=

1

2

OC，得出∠C=30°，從而求出∠COD=120°，再分別求出S_扇形OCD和S_△COD，最后根據(jù)S_弓形DBC=S_扇形OCD-S_△COD進行計算即可．

解答：解：（1）連接OC，如圖，
∵⊙O的直徑AB垂直于弦CD，
∴PC=PD，
∵CD=2

3

，
∴PC=

3

，
又∵P是OB的中點，
∴OP=

1

2

OB=

1

2

OC，
在Rt△OPC中，OP²+PC²=OC²，
（

1

2

OC）²+（

3

）²=OC²，
∴OC=2，
∴AB=2OC=4（cm）；

（2）在Rt△OPC中，
∵OP=

1

2

OC，
∴∠C=30°，
∴∠COP=60°，
∴∠COD=120°，
∴S_扇形OCD=

120•π×22

360

=

4π

3

；
∵S_△COD=

1

2

CD•OP=

1

2

×2

3

×1=

3

，
∴S_弓形DBC=S_扇形OCD-S_△COD=

4π

3

-

3

（cm²）．

點評：本題考查了垂徑定理，用到的知識點是垂徑定理、勾股定理、扇形、三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是正確地構(gòu)造直角三角形．