Question

12．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2cm，∠DAB=60°．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以$\sqrt{3}$cm/s的速度，沿AC向C作勻速運(yùn)動(dòng)；與此同時(shí)，點(diǎn)Q也從A點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度，沿射線AB作勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，P、Q都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．
（1）點(diǎn)P由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)需要2秒；
（2）當(dāng)P異于A、C時(shí)，請(qǐng)說明PQ∥BC；
（3）以P為圓心、PQ長(zhǎng)為半徑作圓，請(qǐng)問：在運(yùn)動(dòng)過程中，⊙P與邊BC有2個(gè)公共點(diǎn)時(shí)t的取值范圍？

Answer 1

分析 （1）求出AC的長(zhǎng)即可解決問題．
（2）只要證明△PAQ∽△CAB，推出∠APQ=∠ACB，即可證明．
（3）當(dāng)⊙P與邊BC 相切與點(diǎn)M時(shí)，連接PM，則PM⊥BC，想辦法求出此時(shí)t的值，再求出⊙P經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)的t的值，由此即可解決問題．

解答 解：（1）由題意AC=$\sqrt{3}$，
∴t=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=2s，
故答案為2．

（2）證明：連接BD交AC于點(diǎn)O．

∵四邊形ABCD是菱形，且邊長(zhǎng)為2cm，∠DAB=60°，
∴AB=BC=2，∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BAD=30°，
∵AC⊥BD，OA=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，
∴AC=2$\sqrt{3}$，∵AB=2，AP=$\sqrt{3}$t，AQ=t，
∴$\frac{\sqrt{3}t}{2\sqrt{3}}$=$\frac{t}{2}$．即$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AQ}{AB}$，又∵∠PAQ=∠CAB，
∴△PAQ∽△CAB，
∴∠APQ=∠ACB，
∴PQ∥BC．

（3）當(dāng)⊙P與邊BC 相切與點(diǎn)M時(shí)，連接PM，則PM⊥BC，

在Rt△CPM中，
∵∠PCM=30°，
∴PM=$\frac{1}{2}$PC=$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，又PM=PQ=AQ=t，
即$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t=t，
∴t=4$\sqrt{3}$-6，
當(dāng)⊙P過點(diǎn)B時(shí)，PQ=PB，
∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°，
∴△PQB為等邊三角形，
∴QB=PQ=AQ=t，
∴t=1．
綜上，若使⊙P與邊BC有2個(gè)公共點(diǎn)，則4$\sqrt{3}$-6＜t≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、切線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)用方程的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．