Question

【題目】（1）某學(xué)校“智慧方園”數(shù)學(xué)社團(tuán)遇到這樣一個(gè)題目：

如圖（1），在中，點(diǎn)在線(xiàn)段上，，，，，求的長(zhǎng)．經(jīng)過(guò)社團(tuán)成員討論發(fā)現(xiàn)：過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，通過(guò)構(gòu)造就可以解決問(wèn)題，如圖（2）．請(qǐng)回答：______．

（2）求的長(zhǎng)．

（3）請(qǐng)參考以上解決思路，解決問(wèn)題：如圖（3），在四邊形中，對(duì)角線(xiàn)與相交于點(diǎn)，，，，，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）75°；（2）；（3）．

【解析】

（1）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得出∠ADB=∠OAC=75°；

（2）結(jié)合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性質(zhì)可求出OD的值，進(jìn)而可得出AD的值，由三角形內(nèi)角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB，由等角對(duì)等邊可得出AB的長(zhǎng)；

（3）過(guò)點(diǎn)B作BE∥AD交AC于點(diǎn)E，同（1）可得出AE的長(zhǎng)．在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的長(zhǎng)度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理可求出DC的長(zhǎng)，此題得解．

（1）∵BD∥AC，

∴∠ADB=∠OAC=75°．

（2）∵∠BOD=∠COA，∠ADB=∠OAC，

∴△BOD∽△COA，

∴．

又∵AO，

∴ODAO，

∴AD=AO+OD=．

∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，

∴∠ABD=180°﹣∠BAD﹣∠ADB=75°=∠ADB，

∴AB=AD=．

（3）過(guò)點(diǎn)B作BE∥AD交AC于點(diǎn)E，如圖所示．

∵AC⊥AD，BE∥AD，

∴∠DAC=∠BEA=90°．

∵∠AOD=∠EOB，

∴△AOD∽△EOB，

∴．

∵BO：OD=1：3，

∴．

∵AO=，

∴EO，

∴AE=．

∵∠ABC=∠ACB=75°，

∴∠BAC=30°，AB=AC，

∴AB=2BE．

在Rt△AEB中，BE2+AE2=AB2，即()2+BE2=(2BE)2，

解得：BE=，

∴AB=AC=，AD=4．

在Rt△CAD中，AC2+AD2=CD2，即，

解得：CD=．