Question

【題目】已知E，F(xiàn)分別是AB、CD上的動點(diǎn)，P也為一動點(diǎn)．
（1）如圖1，若AB∥CD，求證：∠P=∠BEP+∠PFD；
（2）如圖2，若∠P=∠PFD﹣∠BEP，求證：AB∥CD；
（3）如圖3，AB∥CD，移動E，F(xiàn)使得∠EPF=90°，作∠PEG=∠BEP，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：過P作PQ∥AB，

∵AB∥CD，

∴PQ∥CD，

∴∠BEP=∠1，∠2=∠PFD，

∵∠EPF=∠1+∠2，

∴∠EPF=∠BEP+∠PFD

（2）證明：∵∠BGP是△PEG的外角，

∴∠P=∠BGP﹣∠BEP．

∵∠P=∠PGB﹣∠BEP，

∴∠PFD=∠PGB，

∴AB∥CD

（3）解：由（1）的結(jié)論∠EPF=∠BEP+∠PFD=90°，

設(shè)∠PFD=x，則∠BEP=90°﹣x，

∵∠PEG=∠BEP=90°﹣x，

∴∠AEG=180°﹣2（90°﹣x）=2x，則 = =2

【解析】（1）過P作PQ平行于AB，由AB與CD平行，得到PQ與CD平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等得到兩對角相等，再由∠EPF=∠1+∠2，等量代換就可得證；（2）先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠P=∠BGP﹣∠BEP，再由∠P=∠PGB﹣∠BEP可知，∠PFD=∠PGB，由此可得出結(jié)論；（3）由（1）中的結(jié)論∠EPF=∠BEP+∠PFD，設(shè)設(shè)∠PFD=x，則∠BEP=90°﹣x，根據(jù)∠PEG=∠BEP=90°﹣x，利用平角定義表示出∠AEG，即可求出所求比值．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的平行線的判定與性質(zhì)，需要了解由角的相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的條件，得到兩條直線平行（位置關(guān)系）這是平行線的判定；由平行線（位置關(guān)系）得到有關(guān)角相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的結(jié)論是平行線的性質(zhì)才能得出正確答案．