Question

15．（1）如圖1，CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，∠MAC+∠ACM=90°，請(qǐng)判斷AB與CD的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；
（2）如圖2，當(dāng)∠M=90°且AB與CD的位置關(guān)系保持（1）中的不變，當(dāng)直角頂點(diǎn)M移動(dòng)時(shí)，問(wèn)∠BAM與∠MCD是否存在確定的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；
（3）如圖3，G為線段AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)H為直線CD上一動(dòng)點(diǎn)且AB與CD的位置關(guān)系保持（1）中的不變，當(dāng)點(diǎn)H在射線CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)C除外）∠CGH+∠CHG與∠BAC有何數(shù)量關(guān)系？猜想結(jié)論并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可得出答案；
（2）過(guò)M作MF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BAM=∠AMF，∠FMC=∠DCM，再根據(jù)∠M=90°，即可得出∠BAM+∠MCD=90°；
（3）過(guò)點(diǎn)G作GP∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BAC=∠PGC，∠CHG=∠PGH，從而得出∠BAC=∠CHG+∠CGH．

解答 解：（1）∵CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠MAC，∠ACD=2∠ACM，
∵∠MAC+∠ACM=90°，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴AB∥CD；

（2）∠BAM+∠MCD=90°；
理由：如圖2，過(guò)M作MF∥AB，
∵AB∥CD，
∴MF∥AB∥CD，
∴∠BAM=∠AMF，∠FMC=∠DCM，
∵∠M=90°，
∴∠BAM+∠MCD=90°；

（3）過(guò)點(diǎn)G作GP∥AB，
∵AB∥CD
∴GP∥CD，
∴∠BAC=∠PGC，∠CHG=∠PGH，
∴∠PGC=∠CHG+∠CGH，
∴∠BAC=∠CHG+∠CGH．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)是三角形內(nèi)角和定理以及平行線的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)題意做出輔助線．