Question

如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且有AE=EF=FA．有下列結(jié)論：
①△ABE≌△ADF；②CE=CF；③∠AEB=75°；④BE+DF=EF；⑤S_△ABE+S_△ADF=S_△CEF．
其中正確的個(gè)數(shù)有（　�。�

• A、2個(gè)
• B、3個(gè)
• C、4個(gè)
• D、5個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：幾何圖形問題

分析：由已知得AB=AD，AE=AF，利用“HL”可證△ABE≌△ADF，利用全等的性質(zhì)判斷①②③正確，在AD上取一點(diǎn)G，連接FG，使AG=GF，由正方形，等邊三角形的性質(zhì)可知∠DAF=15°，從而得∠DGF=30°，設(shè)DF=1，則AG=GF=2，DG=

3

，分別表示AD，CF，EF的長，判斷④⑤的正確性．

解答：解：∵AB=AD，AE=AF=EF，
∴△ABE≌△ADF（HL），△AEF為等邊三角形，
∴BE=DF，又BC=CD，
∴CE=CF，
∴∠BAE=

1

2

（∠BAD-∠EAF）=

1

2

（90°-60°）=15°，
∴∠AEB=90°-∠BAE=75°，
∴①②③正確，
在AD上取一點(diǎn)G，連接FG，使AG=GF，
則∠DAF=∠GFA=15°，
∴∠DGF=2∠DAF=30°，
設(shè)DF=1，則AG=GF=2，DG=

3

，
∴AD=CD=2+

3

，CF=CE=CD-DF=1+

3

，
∴EF=

2

CF=

2

+

6

，而BE+DF=2，
∴④錯(cuò)誤，
⑤∵S_△ABE+S_△ADF=2×

1

2

AD×DF=2+

3

，
S_△CEF=

1

2

CE×CF=2+

3

∴⑤正確．
∴正確的結(jié)論有：①②③⑤．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用．關(guān)鍵是利用全等三角形的性質(zhì)，把條件集中到直角三角形中，運(yùn)用勾股定理求解．