Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰梯形OABC的下底邊OA在x軸的正半軸上，BC∥OA，OC=AB，tan ∠BAO=，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（7，4）。
（1）求點(diǎn)A、C的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過點(diǎn)O、B、C的拋物線的解析式；
（3）在第一象限內(nèi)（2）中的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得經(jīng)過點(diǎn)P且與等腰梯形一腰平行的直線將該梯形分成面積相等的兩部分？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

解：（1）過點(diǎn)G作CE⊥x軸于E，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于D，如圖， ∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（7，4）， ∴BD=4，OD=7， ∵ ∴AD=3， ∴AO=10，A（10，0）， 又∵梯形OABC是等腰梯形，OE=AD=3， ∴C（3，4）；
（2）設(shè)過點(diǎn)O、B、C的拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0）， 由O（0，0）、B（7，4）、C（3，4）， 得：， 解得：， ∴拋物線的解析式為；
（3）∵EO=AD=3，OA=10， ∴BC=DE=4， ∴梯形的面積為， 過點(diǎn)C與等腰梯形一腰平行的直線把梯形分成面積為16的平行四邊形和面積為12的三角形，因此與梯形一腰平行且把梯形分成面積相等的兩部分的直線一定與邊BC交于異于點(diǎn)C 的一點(diǎn)， ①若過點(diǎn)P的直線平行于OC，過點(diǎn)P作PM∥OC，分別與OA、BC相交于M、N，則平行四邊形OMNC的面積等于梯形面積的一半，S=OM·CE=14， ∴， ∴ ∵點(diǎn)P在拋物線上， 設(shè)點(diǎn)（x>0）則 ∠PMA=∠COA， ∴， 解得：（舍去），x2 ∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為； ②若過點(diǎn)P的直線平行于AB， ∵的對(duì)稱軸為x=5，由對(duì)稱性可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為， 綜上所述，在拋物線上存在一點(diǎn)P，使得經(jīng)過點(diǎn)P且與等腰梯形一腰平行的直線將該梯形分成面積相等的兩部分，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為或。