Question

16．如圖，直線y=-$\frac{3}{4}$x+6與x、y軸分別交于點(diǎn)A，B．
（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）將線段AB折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕CD交x軸于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D．求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）在直線AB上是否存在點(diǎn)P，使△ACP是等腰三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）分別令x=0，y=0，解方程即可解決問題．
（2）由CB=CA，設(shè)CB=AC=x，在Rt△OBC中，根據(jù)OB²+OC²=BC²，可得6²+（8-x）²=x²，解方程即可．
（3）分三種情形①當(dāng)CP₁=CA時(shí)，P與B重合，②P₂C=P₂A時(shí)，∴y=-$\frac{3}{4}$×$\frac{39}{8}$+6=$\frac{75}{32}$，③當(dāng)AP=AC時(shí)，分別求解即可．

解答 解：（1）對于y=-$\frac{3}{4}$x+6，
令x=0，得y=6，∴點(diǎn)B坐標(biāo)（0，6），
令y=0得x=8，∴點(diǎn)A坐標(biāo)（8，0）．

（2）∵CB=CA，設(shè)CB=AC=x，
在Rt△OBC中，∵OB²+OC²=BC²，
∴6²+（8-x）²=x²，
∴x=$\frac{25}{4}$，
∴OC=OA-AC=8-$\frac{25}{4}$=$\frac{7}{4}$，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)（$\frac{7}{4}$，0）．

（3）①當(dāng)CP₁=CA時(shí)，P與B重合，P₁（0，6）．
②P₂C=P₂A時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為$\frac{39}{8}$，
∴y=-$\frac{3}{4}$×$\frac{39}{8}$+6=$\frac{75}{32}$，
∴P₂（$\frac{39}{8}$，$\frac{75}{32}$）
③當(dāng)AP=AC時(shí)，P₃（3，$\frac{15}{4}$）或P₄（13，-$\frac{15}{4}$）．
綜上所述，點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，6）或（$\frac{39}{8}$，$\frac{75}{32}$）或（3，$\frac{15}{4}$）或（13，-$\frac{15}{4}$）．

點(diǎn)評 本題考查一次函數(shù)綜合題、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)分類討論，注意不能漏解，屬于中考�？碱}型．