Question

已知拋物線C₁：，點(diǎn)F（1，1）。
（Ⅰ）求拋物線C₁的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）①若拋物線C₁與y軸的交點(diǎn)為A，連接AF，并延長(zhǎng)交拋物線C₁于點(diǎn)B，求證：；
②拋物線C₁上任意一點(diǎn)P（x_p，y_p）（0<x_p<1），連接PF，并延長(zhǎng)交拋物線C₁于點(diǎn)Q（x_q，y_q），試判斷是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅲ）將拋物線C₁作適當(dāng)?shù)钠揭�，得拋物線C₂：，若2<x≤m時(shí)，y₂≤x，恒成立，求m的最大值。

Answer 1

解 （I）∵， ∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）；
（II）①根據(jù)題意，可得點(diǎn)A（0，1）， ∵F（1，1）， ∴AB∥x軸， 得AF=BF=1， ；  ②成立， 理由如下： 如圖，過(guò)點(diǎn)P（）作PM⊥AB于點(diǎn)M，則FM=，PM=（） ∴Rt△PMF中，由勾股定理，得 又點(diǎn)P（）在拋物線上， 得，即 ∴ 即， 過(guò)點(diǎn)Q（）作QN⊥B，與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N， 同理可得， 圖文∠PMF=∠QNF=90°，∠MFP=∠NFQ， ∴△PMF∽△QNF 有 這里， ∴ 即；
（Ⅲ）令， 設(shè)其圖象與拋物線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，， 且<， ∵拋物線可以看作是拋物線左右平移得到的， 觀察圖象，隨著拋物線向右不斷平移，，的值不斷增大， ∴當(dāng)滿足，，恒成立時(shí)，m的最大值在處取得， 可得當(dāng)時(shí)， 所對(duì)應(yīng)的即為m的最大值， 于是，將帶入， 有 解得h=4或h=0（舍）  ∴ 此時(shí)，， 得 解得， ∴m的最大值為8。