Question

在正方形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E，作EF⊥AB交BD于點(diǎn)F，取FD的中點(diǎn)G，連接EG、CG，如圖，易證EG＝CG且EG⊥CG．

(1)將△BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，如圖，則線段EG和CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想．

(2)將△BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，如圖，則線段EG和CG又有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并加以證明．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)EG＝CG，EG⊥CG． 　　(2)EG＝CG，EG⊥CG． 　　證明：延長(zhǎng)FE交DC延長(zhǎng)線于M，連MG． 　　∵∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM＝90°， 　　∴四邊形BEMC是矩形． 　　∴BE＝CM，∠EMC＝90°， 　　又∵BE＝EF， 　　∴EF＝CM． 　　∵∠EMC＝90°，F(xiàn)G＝DG， 　　∴MG＝FD＝FG． 　　∵BC＝EM，BC＝CD， 　　∴EM＝CD． 　　∵EF＝CM， 　　∴FM＝DM， 　　∴∠F＝45°． 　　又FG＝DG， 　　∠CMG＝∠EMC＝45°， 　　∴∠F＝∠GMC． 　　∴△GFE≌△GMC． 　　∴EG＝CG，∠FGE＝∠MGC． 　　∵∠FMC＝90°，MF＝MD，F(xiàn)G＝DG， 　　∴MG⊥FD， 　　∴∠FGE＋∠EGM＝90°， 　　∴∠MGC＋∠EGM＝90°， 　　即∠EGC＝90°， 　　∴EG⊥CG． 　　分析：從圖(1)中尋找證明結(jié)論的思路：延長(zhǎng)FE交DC延長(zhǎng)線于M，連MG．構(gòu)造出△GFE≌△GMC．易得結(jié)論；在問(wèn)題(1)、(2)中圖中借鑒此解法證明． 　　點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的判斷和性質(zhì)，如何構(gòu)造全等的三角形是難點(diǎn)，因此難度較大．