Question

如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，已知∠B=45°，AB=，CD=．試求：
（1）四邊形ABCD的周長；（2）四邊形ABCD的面積．

Answer 1

解：（1）延長AD，BC交于E點，
∵∠A=∠BCD=90°，∠B=45°，
∴△ABE，△CDE都為等腰直角三角形，
在Rt△ABE中，AB=，
∴AE=AB=，BE=AB=4，
在Rt△CDE中，CD=，
∴CE=CD=，DE=CD=，
∴AD=AE-DE=2-=，
BC=BE-CE=4-=3，
∴AB+BC+CD+AD=2+3++=3+4；

（2）根據（1）可知，
S_{四邊形ABCD}=S_△ABE-S_△CDE，
=×AB×AE-×CD×CE，
=12-，
=．
分析：（1）延長AD，BC交于E點，將問題轉化到兩個等腰直角三角形△ABE，△CDE中，根據已知條件求各邊的長，再作差即可；
（2）根據（1）中兩個等腰直角三角形的直角邊長，利用S_{四邊形ABCD}=S_△ABE-S_△CDE求面積．
點評：本題考查了解直角三角形的知識．關鍵是將問題轉化為兩個直角三角形求解．