Question

15．探究與發(fā)現(xiàn)：

（1）探究一：三角形的一個內(nèi)角與另兩個內(nèi)角的平分線所夾的角之間的關(guān)系
已知：如圖1，在△ADC中，DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，試探究∠P與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（2）探究二：四邊形的兩個個內(nèi)角與另兩個內(nèi)角的平分線所夾的角之間的關(guān)系
已知：如圖2，在四邊形ABCD中，DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，試探究∠P與∠A+∠B的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）探究三：六邊形的四個內(nèi)角與另兩個內(nèi)角的平分線所夾的角之間的關(guān)系
已知：如圖3，在六邊形ABCDEF中，DP、CP分別平分∠EDC和∠BCD，請直接寫出∠P與∠A+∠B+∠E+∠F的數(shù)量關(guān)系：∠P=$\frac{1}{2}$（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°．

Answer 1

分析 探究一：根據(jù)角平分線的定義可得∠PDC=$\frac{1}{2}$∠ADC，∠PCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解；
探究二：根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可；
探究三：根據(jù)六邊形的內(nèi)角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理探究二解答即可．

解答 解：探究一：∵DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，
∴∠PDC=$\frac{1}{2}$∠ADC，∠PCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，
=180°-$\frac{1}{2}$∠ADC-$\frac{1}{2}$∠ACD，
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ADC+∠ACD），
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A），
=90°+$\frac{1}{2}$∠A；

探究二：∵DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC=$\frac{1}{2}$∠ADC，∠PCD=$\frac{1}{2}$∠BCD，
∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，
=180°-$\frac{1}{2}$∠ADC-$\frac{1}{2}$∠BCD，
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ADC+∠BCD），
=180°-$\frac{1}{2}$（360°-∠A-∠B），
=$\frac{1}{2}$（∠A+∠B）；

探究三：六邊形ABCDEF的內(nèi)角和為：（6-2）•180°=720°，
∵DP、CP分別平分∠EDC和∠BCD，
∴∠PDC=$\frac{1}{2}$∠EDC，∠PCD=$\frac{1}{2}$∠BCD，
∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD，
=180°-$\frac{1}{2}$∠EDC-$\frac{1}{2}$∠BCD，
=180°-$\frac{1}{2}$（∠EDC+∠ACD），
=180°-$\frac{1}{2}$（720°-∠A-∠B-∠E-∠F），
=$\frac{1}{2}$（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°，
即∠P=$\frac{1}{2}$（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°．
故答案為：∠P=$\frac{1}{2}$（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°．

點評 本題考查了三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，多邊形的內(nèi)角和公式，此類題目根據(jù)同一個解答思路求解是解題的關(guān)鍵．