Question

18．在等邊△AOB中，將扇形COD按圖1擺放，使扇形的半徑OC、OD分別與OA、OB重合，OA=OB=2，OC=OD=1，固定等邊△AOB不動，讓扇形COD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，線段AC、BD也隨之變化，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α．（0＜α≤360°）
（1）當OC∥AB時，旋轉(zhuǎn)角α=60或240度；
發(fā)現(xiàn)：（2）線段AC與BD有何數(shù)量關(guān)系，請僅就圖2給出證明．
應(yīng)用：（3）當A、C、D三點共線時，求BD的長．
拓展：（4）P是線段AB上任意一點，在扇形COD的旋轉(zhuǎn)過程中，請直接寫出線段PC的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，易知當點D在線段AD和線段AD的延長線上時，OC∥AB，此時旋轉(zhuǎn)角α=60°或240°．
（2）結(jié)論：AC=BD．只要證明△AOC≌△BOD即可．
（3）在圖3、圖4中，分別求解即可．
（4）如圖5中，由題意，點C在以O(shè)為圓心，1為半徑的⊙O上運動，過點O作OH⊥AB于H，直線OH交⊙O于C′、C″，線段CB的長即為PC的最大值，線段C″H的長即為PC的最小值．易知PC的最大值=3，PC的最小值=$\sqrt{3}$-1．

解答 解：（1）如圖1中，

∵△ABC是等邊三角形，
∴∠AOB=∠COD=60°，
∴當點D在線段AD和線段AD的延長線上時，OC∥AB，
此時旋轉(zhuǎn)角α=60°或240°．
故答案為60或240；

（2）結(jié)論：AC=BD，理由如下：
如圖2中，

∵∠COD=∠AOB=60°，
∴∠COA=∠DOB，
在△AOC和△BOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠COA=∠DOB}\\{CO=OD}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC=BD；

（3）①如圖3中，當A、C、D共線時，作OH⊥AC于H．

在Rt△COH中，∵OC=1，∠COH=30°，
∴CH=HD=$\frac{1}{2}$，OH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△AOH中，
AH=$\sqrt{O{A}^{2}-O{H}^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
∴BD=AC=CH+AH=$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$．
如圖4中，當A、C、D共線時，作OH⊥AC于H．

易知AC=BD=AH-CH=$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$，
綜上所述，當A、C、D三點共線時，BD的長為$\frac{\sqrt{13}+1}{2}$或$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$；

（4）如圖5中，由題意，點C在以O(shè)為圓心，1為半徑的⊙O上運動，過點O作OH⊥AB于H，直線OH交⊙O于C′、C″，線段CB的長即為PC的最大值，線段C″H的長即為PC的最小值．易知PC的最大值=3，PC的最小值=$\sqrt{3}$-1．

點評 本題考查圓綜合題、旋轉(zhuǎn)變換、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、圓上的點到直線的距離的最值問題等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，利用輔助圓解決最值問題，屬于中考壓軸題．